این پرسش پاسخ سادهای دارد که مختص به فقط حالت دستگاههای خطی نیست. در کل فرض کنید $f_1,\dots,f_r$ و همینطور $g_1,\dots,g_s$ تابعهایی از $\mathbb{R}^n$ به $\mathbb{R}$ باشند (پس $n$متغیره هستند و اسکالریمقدار). مجموعهٔ نقطههایی از $\mathbb{R}^n$ که جایگذاریشان در $f_1,\dots,f_r$ همگیشان همزمان صفر شوند (همان مفهومی که در پرسش به آن «جواب» میگوئید) را با $V(f_1,\dots,f_r)$ نمایش دهید. به طور مشابه $V(g_1,\dots,g_s)$ مجموعهپاسخهای دستگاه دوم. اکنون اشتراک این دو مجموعه یعنی $V(f_1,\dots,f_r)\cap V(g_1,\dots,g_s)$ خیلی ساده برابر است با $V(f_1,\dots,f_r,g_1,\dots,g_s)$. و اجتماع دو مجموعه برابر است با
$$V(f_1g_1,f_1g_2,\dots,f_1g_s,f_2g_1,\dots,f_rg_s)$$
یعنی تمام حاصلضربهای $fg$ که $f$ از دستگاه نخست و $g$ از دستگاه دوم میآید، $V(f_ig_j\mid 1\leq i\leq r, 1\leq j\leq s)$. اثبات آن نیز سادهاست. اگر نقطهای تمام $f_i$ها را صفر کند آنگاه هر $f_ig_j$ای را نیز صفر میکند زیرا
$$(f_ig_j)(x)=f_i(x)g_j(x)$$
و اگر نقطهای تمام $g_j$ها را صفر کند دوباره به دلیل یکسان $f_ig_j$ها را صفر میکند پس تا اینجا نشان دادیم که
$$V(f_1,\dots,f_r)\cup V(g_1,\dots,g_s)\subseteq V(f_ig_j\mid 1\leq i\leq r, 1\leq j\leq s)$$
و برای اینکه نشان دهیم این شمول دقیقا تساوی است، کافی است نشان دهیم هیچ نقطهای بیرون از این اجتماع نمیتواند تمام حاصلضربها را صفر کند. فرض کنید یک نقطه هیچ یک از $f_i$ها را صفر نکند ولی پاسخ دستگاه جدید باشد. چون $(f_ig_j)(x)=0$ پس $f_i(x)g_j(x)=0$ ولی این یعنی حداقل یکی از دو تا باید صفر باشد بنا به خواص اعداد حقیقی و چون $f_i(x)$ صفر نیست پس $g_j(x)=0$ اما این برای هر $j$ای باید برقرار باشد که یعنی پاسخهای دستگاه جدید که در $V(f_1,\dots,f_r)$ نیستند حتما باید در $V(g_1,\dots,g_s)$ باشند، پس هیچ نقطهای بیرون اجتماع در مجموعهپاسخهای دستگاه جدید نیست.
$$V(f_1,\dots,f_r)\cup V(g_1,\dots,g_s)= V(f_ig_j\mid 1\leq i\leq r, 1\leq j\leq s)$$
توجه کنید که اگر تابعهایتان به جای خطی، چندجملهای یا مثلثاتی یا هر نوع تابع دیگری باشند، باز هم پاسخهای بالا درست هستند. بعلاوه حتی به جای $\mathbb{R}$ میتوانید هر میدان دیگری مانند $\overline{\mathbb{Z}}_2$، $\mathbb{Q}$ یا $\mathbb{C}$ نیز بردارید.
