این پرسش پاسخ ساده‌ای دارد که مختص به فقط حالت دستگاه‌های خطی نیست. در کل فرض کنید f_1,\dots,f_r و همینطور g_1,\dots,g_s تابع‌هایی از \mathbb{R}^n به \mathbb{R} باشند (پس nمتغیره هستند و اسکالری‌مقدار). مجموعهٔ نقطه‌هایی از \mathbb{R}^n که جایگذاری‌شان در f_1,\dots,f_r همگی‌شان همزمان صفر شوند (همان مفهومی که در پرسش به آن «جواب» می‌گوئید) را با V(f_1,\dots,f_r) نمایش دهید. به طور مشابه V(g_1,\dots,g_s) مجموعه‌پاسخ‌های دستگاه دوم. اکنون اشتراک این دو مجموعه یعنی V(f_1,\dots,f_r)\cap V(g_1,\dots,g_s) خیلی ساده برابر است با V(f_1,\dots,f_r,g_1,\dots,g_s). و اجتماع دو مجموعه برابر است با
V(f_1g_1,f_1g_2,\dots,f_1g_s,f_2g_1,\dots,f_rg_s)
یعنی تمام حاصلضرب‌های fg که f از دستگاه نخست و g از دستگاه دوم می‌آید، V(f_ig_j\mid 1\leq i\leq r, 1\leq j\leq s). اثبات آن نیز ساده‌است. اگر نقطه‌ای تمام f_iها را صفر کند آنگاه هر f_ig_jای را نیز صفر می‌کند زیرا
(f_ig_j)(x)=f_i(x)g_j(x)
و اگر نقطه‌ای تمام g_jها را صفر کند دوباره به دلیل یکسان f_ig_jها را صفر می‌کند پس تا اینجا نشان دادیم که
V(f_1,\dots,f_r)\cup V(g_1,\dots,g_s)\subseteq V(f_ig_j\mid 1\leq i\leq r, 1\leq j\leq s)
و برای اینکه نشان دهیم این شمول دقیقا تساوی است، کافی است نشان دهیم هیچ نقطه‌ای بیرون از این اجتماع نمی‌تواند تمام حاصلضرب‌ها را صفر کند. فرض کنید یک نقطه هیچ یک از f_iها را صفر نکند ولی پاسخ دستگاه جدید باشد. چون (f_ig_j)(x)=0 پس f_i(x)g_j(x)=0 ولی این یعنی حداقل یکی از دو تا باید صفر باشد بنا به خواص اعداد حقیقی و چون f_i(x) صفر نیست پس g_j(x)=0 اما این برای هر jای باید برقرار باشد که یعنی پاسخهای دستگاه جدید که در V(f_1,\dots,f_r) نیستند حتما باید در V(g_1,\dots,g_s) باشند، پس هیچ نقطه‌ای بیرون اجتماع در مجموعه‌پاسخ‌های دستگاه جدید نیست.
V(f_1,\dots,f_r)\cup V(g_1,\dots,g_s)= V(f_ig_j\mid 1\leq i\leq r, 1\leq j\leq s)
توجه کنید که اگر تابع‌هایتان به جای خطی، چندجمله‌ای یا مثلثاتی یا هر نوع تابع دیگری باشند، باز هم پاسخهای بالا درست هستند. بعلاوه حتی به جای \mathbb{R} می‌توانید هر میدان دیگری مانند \overline{\mathbb{Z}}_2، \mathbb{Q} یا \mathbb{C} نیز بردارید.
