Question

اگر $A$متقارن متعامد و معین مثبت باشد آنگاه $A=I$

Comments

@meh123456
دوست عزیز لطفا برای تایپ ریاضی مناسب,نمادها رو بین علامت دو دلار قرار بدین.
در ضمن همونطور که نوشته شده,اگه میخواید  مرجعی رو معرفی کنید باید عنوان کتاب و یا اسم نویسنده کتاب یا مقاله رو ذکر کنید.

Answer 1

از آنجایی که ماتریس $A$ متقارن و متعامد است لذا $A= A^{T}$ و$A= A^{-1}$ پس$AA=I$ یعنی چند جمله ای مینیمال برابر $x^{2} -1$ است و تنها مقادیر ویژه برابر $+1$ و$-1$ هستند اما از آنجایی که معین مثبت است لذا تنها مقدار $+1$ امکان پذیر است.

از طرفی دیگر چون ماتریس $A$ متقارن و حقیقی است لذا طبق قضیه $Spectral \ theorem$ یک ماتریس متعامد $B$ وجود دارد که $BD B^{T}=A$ و در آن $D$ قطری وعناصر روی قطر مقادیر ویژه یا همان $1$ هستند لذا $A=B B^{T} =I$ و حکم ثابت میشود.