Question

اگر $A $متقارن متعامد و معین مثبت باشد آنگاه $A=I$

Comments

@meh123456
دوست عزیز لطفا برای تایپ ریاضی مناسب,نمادها رو بین علامت دو دلار قرار بدین.
در ضمن همونطور که نوشته شده,اگه میخواید  مرجعی رو معرفی کنید باید عنوان کتاب و یا اسم نویسنده کتاب یا مقاله رو ذکر کنید.

Answer 1

از آنجایی که ماتریس $ A $ متقارن و متعامد است لذا $A= A^{T} $ و$A= A^{-1} $ پس$ AA=I $ یعنی چند جمله ای مینیمال برابر $ x^{2} -1 $ است و تنها مقادیر ویژه برابر $ +1 $ و$ -1 $ هستند اما از آنجایی که معین مثبت است لذا تنها مقدار $ +1 $ امکان پذیر است.

از طرفی دیگر چون ماتریس $ A $ متقارن و حقیقی است لذا طبق قضیه $Spectral \ theorem$ یک ماتریس متعامد $B $ وجود دارد که $BD B^{T}=A $ و در آن $D $ قطری وعناصر روی قطر مقادیر ویژه یا همان $1$ هستند لذا $A=B B^{T} =I $ و حکم ثابت میشود.