اگر شرط متمایز بودن رو نداشته باشه درست نیست.
بعنوان مثال ماتریس همانی را در نظر بگیرید تنها یک مقدار ویژه ثابت دارد($1$) و هر بردار ناصفر یک بردار ویژه است. و بوضوح میتوان دو بردار غیر صفر را که وابسته خطی هستندرا در نظر گرفت.($(2,...,2)$ , $(1,...,1)$)
اگر مقدار ویژه ها هم متمایز باشند( مثبت بودن لازم نیست)آنگاه بردارهای ویژه مستقل خواهند بود.
در واقع ماتریس $n \times n $ دارای $ n $ بردار ویژه ی مستقل است اگروتنها اگر قطری شدنی باشد
اما در ماتریس های متقارن مقادیر ویژه مثبت هستند اگروتنها اگر ماتریس معین مثبت باشد
(اگر این سوال درست باشد آنگاه هر ماتریس معین مثبت باید قطری شدنی باشد اما ماتریس زیر با اینکه معین مثبت است اما قطری شدنی نیست
$$ \begin{bmatrix}1 & \frac{1}{10} \\0 & 1 \end{bmatrix} $$
این مثال شرط متقارن بودن را در تعریف ماتریس معین مثبت با درایه حقیقی نداره پس مثال اشتباهی است.)
................................................
میدانیم :$A x_{i} = \lambda_{i} x_{i} $
با استقرا حکم را ثابت میکنیم اگر یک مقدار ویژه داشته باشیم لذا یک بردار ویژه($ x_{1} $) داریم که مخالف صفر است لذا مستقل خطی است.
فرض کنید دومقدار ویژه $ \lambda _1 $ و $\lambda _2 $ را داشته باشیم وبردارهای نظیر آنها $ x_{1} $و$ x_{1} $ باشند.و فرض کنید $ a_{1} x_{1} + a_{2} x_{2} =0 \tag{1} \label{1} $ آنگاه داریم:
$$A(a_{1} x_{1} + a_{2} x_{2}) =A0=0 \Rightarrow a_{1} Ax_{1} + a_{2} Ax_{2} =0 \Rightarrow $$
$$ a_{1} \lambda_{1}x_{1} + a_{2} \lambda_{2}x_{2} =0 \tag{2} \label{2} $$
حال اگر در رابطه ی $\eqref{1}$ طرفین را در $ \lambda_{1}$ ضرب کنیم و آن را از رابطه $ \eqref{2} $ کم کنیم داریم:
$$ a_{2} (\lambda_{2}-\lambda_{1})x_{2} =0 $$
از آنجایی که $\lambda_{2} \neq \lambda_{1}$ و $ x_{2} \neq 0$ پس $ a_{2}=0 $ و با قرار دادن آن در رابطه $\eqref{1}$ بدست می آید که $ a_{1}=0 $
حال فرض کنید حکم برای $n-1 $ برقرار باشد نشان میدهیم حکم برای $ n $ نیز برقرار است فرض کنید داشته باشیم $$a_{1} x_{1} +..+ a_{n-1} x_{n-1}+ a_{n} x_{n} =0 \tag{3} \label{3} $$
پس بطور مشابه با نحوه بدست آمدن رابطه $ \eqref{2} $ رابطه ی زیر را داریم:
$$a_{1} \lambda_{1} x_{1} +..+ a_{n-1} \lambda_{n-1} x_{n-1}+ a_{n} \lambda_{n}x_{n} =0 \tag{4} \label{4} $$
حال طرفین $ \eqref{3} $ را در $ \lambda_{n}$ ضرب میکنیم و از طرفین $ \eqref{4} $ کم میکنیم خواهیم داشت:
$$a_{1} (\lambda_{1}- \lambda_{n}) x_{1} +..+ a_{n-1} (\lambda_{n-1} - \lambda_{n})x_{n-1}=0 $$
طبق فرض استقرا ضرایب صفر است
و چون $ \lambda_{n} \neq \lambda_{i}$ برای $n \neq i$ پس $ \lambda_{i}- \lambda_{n}$ مخالف صفر است. پس یاید $ a_{i} $ها برای $n \neq i$ صفر باشند و با جایگذاری در رابطه ی $ \eqref{3} $ نتیجه می شود $ a_{n} $ هم صفر است.
