Question

شعاع های همگرایی سریهای زیر را بدست آورید:

$$ \sum_{n=1}^ \infty \frac{z^n}{n^2} $$ $$ \sum_{n=1}^ \infty \frac{2^nz^n}{n!} $$ $$ \sum_{n=1}^ \infty \frac{n^2z^n}{2^n} $$ $$\sum_{n=1}^\infty (1+\frac 12+...+\frac 1n)z^n$$

Comments

1-دوست عزیز لطفا سعی کنید از امکانات تایپ استفاده کنید (تا اونجایی که سوال رو متوجه شدم سوال رو ویرایش کردم)

2- قبل از طرح سوال لطفا راهنمای تایپ را بخوانید.

3- در هر سوالی که ایجاد میکنید فقط یک سوال  را بنویسید

Answer 1

در سری $ \sum a_{n} x^{n} $ اگر $ \rho = \lim_{n \rightarrow \infty } \sqrt[n]{ \mid a_{n} \mid }$ آنگاه شعاع همگرایی سری برابر $ \frac{1}{ \rho } $ است.

برای اولی داریم $a_{n}= \frac{1}{n^{2} } $ و $ \rho = \lim_{n \rightarrow \infty } \sqrt[n]{ \mid \frac{1}{n^{2} } \mid } =1 $ پس شعاع همگرایی برابر $ \frac{1}{1} =1$ است.

برای دومی داریم $a_{n}= \frac{2^{n}}{n! } $ و $ \rho = \lim_{n \rightarrow \infty } \sqrt[n]{ \mid \frac{2^{n}}{n! } \mid } = \lim_{n \rightarrow \infty } \frac{2}{ \frac{n}{e} }= 0 $ پس شعاع همگرایی برابر $ \frac{1}{0} = \infty $ است.

برای سومی داریم $a_{n}= \frac{n^{2}}{2^{n}} $ و $ \rho = \lim_{n \rightarrow \infty } \sqrt[n]{ \mid \frac{n^{2}}{2^{n}} \mid } = \frac{1}{2} $ پس شعاع همگرایی برابر $ \frac{1}{ \frac{1}{2} } =2$ است.

برای آخری داریم $1=n( \frac{1}{n} ) \leq a_{n}= \sum_{i=1}^n \frac{1}{i} \leq \sum_{i=1}^n 1=n$ پس و $ \rho = \lim_{n \rightarrow \infty } \sqrt[n]{ \mid a_{n} \mid } =1 $ و شعاع همگرایی $1$ است.