سوال جالبی بود
تغییر متغیر $ x=Y+a $ را اعمال می کنیم:
$ 3(Y+a)^{2}-5(Y+a)+6=3Y^{2}+Y(6a-5)+3a^{2}-5a+6 $
در بالا اگر $ 6a-5=0 \Rightarrow a=\frac{5}{6} $ آنگاه ضریب Y صفر خواهد شد پس بهترین مقدار برای a مقدار $ \frac{5}{6} $ است. پس از تغییر متغیر به عبارت زیر می رسیم:
$ 3Y^{2}+\frac{47}{12} $
مسئله به یک متغیر تخفیف پیدا کرد. باید حاصل عبارت $ 3Y^{2}+\frac{47}{12} $ یک مربع کامل شود بنابراین خواهیم داشت:
$ 3Y^{2}+\frac{47}{12}= \theta ^{2} \Rightarrow Y^{2}=\frac{ \theta ^{2}-\frac{47}{12}}{3}=\frac{12 \theta ^{2}-47}{36} \Rightarrow Y=\frac{\sqrt{12 \theta ^{2}-47}}{6} $
حال باید بررسی کنیم عبارت $ 12 \theta ^{2}-47 $ چه زمانی مربع کامل می شود.
$ 12 \theta ^{2}-47=12( \theta ^{2}-4)+1=12( \theta -2)( \theta +2)+1=k^{2} \Rightarrow 12( \theta -2)( \theta +2)=(k-1)(k+1) $
عبارت بالا را به صورت زیر می نویسیم:
$ q( \theta -2) \times \frac{12}{q}( \theta +2)=(k-1)(k+1) $
هم ارزی های $ q( \theta -2)=k+1 $ و $ \frac{12}{q}( \theta +2)=k-1 $ را برقرار می کنیم تا معادله درست از آب در آید. پس:
$ \frac{12}{q}( \theta +2)+1=q( \theta -2)-1 \Rightarrow \theta =\frac{2(q^{2}+q+12)}{q^{2}-12}$
در ادامه خواهیم داشت:
$ 12 \theta ^{2}-47=\frac{(q^{2}+48q+12)^{2}}{(q^{2}-12)^{2}} \Rightarrow Y=\frac{\frac{q^{2}+48q+12}{q^{2}-12}}{6}=\frac{q^{2}+48q+12}{6q^{2}-72} $
و نیز $ x=Y+\frac{5}{6}=\frac{q^{2}+48q+12}{6q^{2}-72}+\frac{5}{6} $
پس یک مجموعه جواب برای x، به صورت روبرو بدست می آید: (n عددی گویاست.)
$x=\frac{n^{2}+48n+12}{6n^{2}-72}+\frac{5}{6}$
نمی توان ادعا کرد که مجموعه بالا، همه جواب های های مسئله را محاسبه می کند زیرا که هم ارزی های دیگر هم میتوان قرار داد.
در مجموعه ای که برای x نوشتیم به ازای n=4 مقدار 10 برای x حاصل می شود که یعنی در تابع اولیه شما اگر به جای x عدد 10 را قرار دهیم آنگاه حاصل یک مربع کامل خواهد بود
