به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
0 امتیاز
880 بازدید
در دبیرستان و دانشگاه توسط آزادazad (45 امتیاز)

معادله ی x وyرا در مجموعه ی اعداد طبیعی حل کنید: $3×( x^{2}+x)= y^{3}+3 y^{2}+2y $ میدانم که یکی از مقادیر ایکس و ایگرگ ۱ و ۱ است اما در باره مقادیر دیگری که میتوانند اینجا قرار بگیرند چیزی نمیدانم

توسط AmirHosein (19,620 امتیاز)
+1
@آزادazad پرسش شما در مورد معادلهٔ دیوفانتی در کل است یا در مورد معادله‌ٔ خاصی است که در متن پرسش است؟ عنوان پرسش باید متناسب با پرسش اصلی باشد و نه یک عنوان کلی. به کتاب‌های مرتبط نگاه کردید و آیا تلاش کردید هیچ یک از روش‌های معرفی شده در این کتاب‌ها را پیاده کنید یا فقط سریع نگاه کردید چه عددی را ذهنی می‌توانید پیدا کنید و بعد پرسش را در سایت گذاشته‌اید؟

2 پاسخ

+1 امتیاز
توسط good4us (7,311 امتیاز)
$$3x(x+1)=y(y+1)(y+2)$$

باتوجه به طبیعی بودن $x,y$ ومتوالی بودن عوامل چپ و راست تساوی ، از آنجاییکه عامل 3 در سمت چپ وجود دارد سمت راست نیز بایدباشد $y$ یک یا 3 میتواند باشد . غیر از 1و1 پاسخ دیگر $y=3و x=4$ خواهد بود.

توسط good4us (7,311 امتیاز)
+1
@آزادazad اول اینکه دو دسته جواب داریم. ضمنا با توجه تجزیه و عواملی که باید اعدادطبیعی پشت سرهمی باید باشند دقت کنید
مثلا اگر y عدد 4 باشد سمت راست 4و5و6 میشوند که درسمت چپ وقتی 3 داریم حاصلضرب دو عدد متوالی  x و x+1 باید40 بشود که این امکان وجود ندارد
در حالت کلی تر حاصلضرب 3 عدد متوالی طبیعی قطعاً یکی از آنها مضرب 3 خواهد بود که میتوان در ادامه روی آن بحث کرد
توسط آزادazad (45 امتیاز)
بله کاملا حرفاتون درسته اما اینها تنها مثالی از نبودن جواب دیگریست اما دلیل بر آن نیست باز هم اگر من متوجه نشدم ممنون میشوم توضیح دهید
توسط AmirHosein (19,620 امتیاز)
+2
@آزادazad به نظر خودتان «اما اینها تنها مثالی از نبودن جواب دیگریست اما دلیل بر آن نیست باز هم اگر من متوجه نشدم» ای که نوشتید یعنی چه؟ سعی کنید واضح ودرست بنویسید. خود درست گفتن و نوشتن نیمی از درک ریاضی‌تان را بهبود می‌بخشد.
@good4us پاسخ‌های دیگری هم برای این برابری هستند مانند $x=15,y=8$.
توسط good4us (7,311 امتیاز)
@AmirHosein کاملاً حق با شماست با توجّه به تجزیه و در کنار هم قرار گرفتن عوامل به شکل های مختلف در کنار هم پاسخ های دیگری شاید متصور باشد که نیاز به بررسی و حل کلی تری خواهد بود
متشکرم
توسط آزادazad (45 امتیاز)
–2
حرفتان متین است
+1 امتیاز
توسط ناصر آهنگرپور (2,183 امتیاز)
ویرایش شده توسط ناصر آهنگرپور

@آزادazad و @AmirHosein و @good4us : با درود به دوست عزیز و ادای ادب و احترام به اساتید گرامی: نمیدانم راهی که بنظرم رسیده، میتواند کمکی به حل کلی این مسئله برساند یا خیر. با توجه به حاصلضرب سه عدد متوالی در سمت راست معادله، میتوان آنرا بشکل زیر بازنویسی کرد.

$3x(x+1)=(y-1)y(y+1)$

حال با تقسیم طرفین بر $y$، سمت راست به اتحاد مزدوج تبدیل میشود که $y$ را از درجه $3$ به $2$ میکاهد. عوامل سمت چپ را هم یا یک به یک یا حاصلضرب دوبدو بر $y$ تقسیم میکنیم و مساوی $t$ قرار میدهیم. در نتیجه شش حالت زیر شکل میگیرد. مواردی را که $t$ جواب صحیح برای $y$ میدهد، باید تحلیل شوند.

$1)\frac{3}{y}=t \Longrightarrow y=1,3$

$2)\frac{x}{y}=t \Longrightarrow x=yt \Longrightarrow 3t(yt+1)=(y-1)(y+1)$

$3)\frac{x+1}{y}=t \Longrightarrow x=yt-1 \Longrightarrow 3(yt-1)t=(y-1)(y+1)$

$4) \frac{3x}{y}=t \Longrightarrow x= \frac{yt}{3} \Longrightarrow t( \frac{yt}{3}+1)=(y-1)(y+1)$

$5)\frac{3(x+1)}{y}=t \Longrightarrow x=\frac{yt-3}{3} \Longrightarrow t(\frac{yt-3}{3})= (y-1)(y+1)$

$6) \frac{x(x+1)}{y}=t \Longrightarrow 3t=(y-1)(y+1)$

شاید با تحلیل کاملتر موارد فوق از طرف اساتید عزیز بتوان راه حل کلی این مسئله را یافت. با آرزوی موفقیت و تندرستی.


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...