@آزادazad و @AmirHosein و @good4us : با درود به دوست عزیز و ادای ادب و احترام به اساتید گرامی: نمیدانم راهی که بنظرم رسیده، میتواند کمکی به حل کلی این مسئله برساند یا خیر. با توجه به حاصلضرب سه عدد متوالی در سمت راست معادله، میتوان آنرا بشکل زیر بازنویسی کرد.
$3x(x+1)=(y-1)y(y+1)$
حال با تقسیم طرفین بر $y$، سمت راست به اتحاد مزدوج تبدیل میشود که $y$ را از درجه $3$ به $2$ میکاهد. عوامل سمت چپ را هم یا یک به یک یا حاصلضرب دوبدو بر $y$ تقسیم میکنیم و مساوی $t$ قرار میدهیم. در نتیجه شش حالت زیر شکل میگیرد. مواردی را که $t$ جواب صحیح برای $y$ میدهد، باید تحلیل شوند.
$1)\frac{3}{y}=t \Longrightarrow y=1,3$
$2)\frac{x}{y}=t \Longrightarrow x=yt \Longrightarrow 3t(yt+1)=(y-1)(y+1)$
$3)\frac{x+1}{y}=t \Longrightarrow x=yt-1 \Longrightarrow 3(yt-1)t=(y-1)(y+1)$
$4) \frac{3x}{y}=t \Longrightarrow x= \frac{yt}{3} \Longrightarrow t( \frac{yt}{3}+1)=(y-1)(y+1)$
$5)\frac{3(x+1)}{y}=t \Longrightarrow x=\frac{yt-3}{3} \Longrightarrow t(\frac{yt-3}{3})= (y-1)(y+1)$
$6) \frac{x(x+1)}{y}=t \Longrightarrow 3t=(y-1)(y+1)$
شاید با تحلیل کاملتر موارد فوق از طرف اساتید عزیز بتوان راه حل کلی این مسئله را یافت. با آرزوی موفقیت و تندرستی.
