برای مشتق گیری از تابع فاکتوریل باید از تابع گاما، تعمیم یافته فاکتوریل برای اعداد حقیقی، و تابع دایگما استفاده کرد. تابع گاما و دایگاما به شکل زیر تعریف می شوند:
$\Gamma(x) = \int_{0}^{\infty}t^{x-1}e^{-t}dt~~~x>0$
$\psi(x) = \frac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)} $
و همچنین $\Gamma(n+1)=n!$ جایی که $n$ یک عدد صحیح نامنفی است.
با استفاده از بسط زیر برای تابع دایگاما داریم:
$\psi(x) = \frac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)} = -\gamma + \sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{1}{k+1}-\frac{1}{k+x}\right) $
جایی که $\gamma$ ثابت اویلر-ماسکرونی است.
حال با تعریف $x=(n+1)$ جایی که $n$ یک عدد صحیح نامنفی است و جایگذاری آن در رابطه بالا، داریم:
$\psi(n+1) = \frac{\Gamma'(n+1)}{\Gamma(n+1)} = -\gamma + \sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{1}{k+1}-\frac{1}{k+n+1}\right) = -\gamma + \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k} = -\gamma+H_n$
جایی که $H_n$ عدد هارمونیک $n$ ام با تعریف $H_0=0$. بنابراین برای مشتق تابع گاما در نقطه $(n+1)$، که معادل $n!$ هست، داریم:
$\Gamma'(n+1) = n!(-\gamma+H_n)$
برای $n=0,1,2$ داریم:
$\Gamma'(1) = -\gamma$
$\Gamma'(2) = 1-\gamma$
$\Gamma'(3) = 3-2\gamma$
