دترمینان ماتریس واندرموند برابر است با:
\displaystyle V_n = \prod_{1 \mathop \le i \mathop < j \mathop \le n} \left({x_j - x_i}\right)
با استقرا حکم را ثابت میکنیم برای n=2 داریم V_1= \begin{vmatrix} 1& x_{1} \\ 1& x_{2} \end{vmatrix}= x_{2} - x_{1}
در این حالت حکم برقرار است. فرض برای n-1 برقرار باشد نشان می دهیم برای n نیز برقرار است.داریم:
V_n =
\begin{vmatrix} 1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^{n-2} & x_1^{n-1} \\ 1 & x_2 & x_2^2 & \cdots & x_2^{n-2} & x_2^{n-1} \\ 1 & x_3 & x_3^2 & \cdots & x_3^{n-2} & x_3^{n-1} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 1 & x_{n-1} & x_{n-1}^2 & \cdots & x_{n-1}^{n-2} & x_{n-1}^{n-1} \\ 1 & x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^{n-2} & x_n^{n-1} \end{vmatrix}
هر بار سطر اول را از سطرهای دیگر کم میکنیم تا در ستون اول تمام درایه ها غیر از درایه سطر اول بقیه صفر شوند یعنی داریم:
V_n =
\begin{vmatrix} 1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^{n-2} & x_1^{n-1} \\ 0 & x_2 - x_1 & x_2^2 - x_1^2 & \cdots & x_2^{n-2} - x_1^{n-2} & x_2^{n-1} - x_1^{n-1} \\ 0 & x_3 - x_1 & x_3^2 - x_1^2 & \cdots & x_3^{n-2} - x_1^{n-2} & x_3^{n-1} - x_1^{n-1} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & x_{n-1} - x_1 & x_{n-1}^2 - x_1^2 & \cdots & x_{n-1}^{n-2} - x_1^{n-2} & x_{n-1}^{n-1} - x_1^{n-1} \\ 0 & x_n - x_1 & x_n^2 - x_1^2 & \cdots & x_n^{n-2} - x_1^{n-2} & x_n^{n-1} - x_1^{n-1} \end{vmatrix}
ابتدا درایه های سطر اول را نیز صفر میکنیم برای اینکار ابتدا x_{1} برابر ستون n-1 ام را از ستون n کم میکنیم برای مرحله بعد x_{1} برابر ستون n-2 ام را از ستون n-1 کم میکنیم و این روند را ادامه میدهیم تا x_{1} برابر ستون 1 ام را از ستون 2 کم میکنیم. دقت کنید که در ماتریس واندر موند فرمول هر درایه بصورت ( x_{i} ) ^{j-1} است و در این حالت بعد از عملیات بالا فرمول هر درایه بصورت a_{ij} = \left({x_i^{j-1} - x_1^{j-1}}\right) - \left({x_1 x_i^{j-2} - x_1^{j-1}}\right) = \left({x_i - x_1}\right) x_i^{j-2} خواهد بود.
\left |
\begin{array}{lccccr}
1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \
0 & x_2 - x_1 & \begin{array}{c}\left({x_2 - x_1}\right) \ \times x_2\end{array} & \cdots & \begin{array}{c}\left({x_2 - x_1}\right)\ \times x_2^{n-3}\end{array} & \begin{array}{c}\left({x_2 - x_1}\right)\ \times x_2^{n-2}\end{array} \
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\
0 & x_{n-1} - x_1 & \begin{array}{c}\left({x_{n-1} - x_1}\right) \ \times x_{n-1} \end{array}& \cdots &\begin{array}{c} \left({x_{n-1} - x_1}\right) \ \times x_{n-1}^{n-3}\end{array} &\begin{array}{c} \left({x_{n-1} - x_1}\right) \ \times x_{n-1}^{n-2}\end{array} \
0 & x_n - x_1 &\begin{array}{c} \left({x_n - x_1}\right)\ \times x_n\end{array} & \cdots & \begin{array}{c}\left({x_n - x_1}\right)\ \times x_n^{n-3}\end{array} &\begin{array}{c} \left({x_n - x_1}\right)\ \times x_n^{n-2}\end{array}
\end{array}
\right |
با انجام عملیات بالا مقدار دترمینان تغییری نکرده است. حال با کمی دقت میبینیم که هر سطر ماتریس مضرب مقداری ثابت است(سطر i ام مضرب ( x_{i} - x_{1} ) است) پس با حارج کردن آنها داریم:
\displaystyle V_n = \prod_{k \mathop = 2}^n \left({x_k - x_1}\right) \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \ 0 & 1 & x_2 & \cdots & x_2^{n-3} & x_2^{n-2} \ 0 & 1 & x_3 & \cdots & x_3^{n-3} & x_3^{n-2} \ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \ 0 & 1 & x_{n-1} & \cdots & x_{n-1}^{n-3} & x_{n-1}^{n-2}\ 0 & 1 & x_n & \cdots & x_n^{n-3} & x_n^{n-2} \end{vmatrix}
که با بسط دترمینان حول سطر اول داریم:
\displaystyle V_n = \prod_{k \mathop = 2}^n \left({x_k - x_1}\right) \begin{vmatrix} 1 & x_2 & \cdots & x_2^{n-3} & x_2^{n-2} \ 1 & x_3 & \cdots & x_3^{n-3} & x_3^{n-2} \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \ 1 & x_{n-1} & \cdots & x_{n-1}^{n-3} & x_{n-1}^{n-2}\ 1 & x_n & \cdots & x_n^{n-3} & x_n^{n-2} \end{vmatrix}
که با کمی دقت ماتریس حاصله ماتریس واندرموند برای n-1 است که طبق فرض استقرا دترمینان آن ماتریس برابر \displaystyle V_n = \prod_{2 \mathop \le i \mathop < j \mathop \le n} \left({x_j - x_i}\right) و با جایگذاری حکم ثابت میشود.
اثبات ارائه شده بر گرفته از سایت proofwiki.org است.
