اگر $f:(a,b)\to\mathbb R$در $c\in(a,b)$ پیوسته باشد به ازای هر $\epsilon> 0$ دلخواه یک $\delta> 0$ موجود است به طوریکه برای هر $ x\in B(c,\delta)$ داریم
$|f(x)-f(c)|< \frac\epsilon 2$ لذا برای هر $x,y\in B(c,\delta)$ داریم
$ |f(x)-f(y)|=|f(x)-f(c)|+|f(y)-f(c)|<\frac\epsilon 2+\frac\epsilon 2=\epsilon $ بنابراین
$\omega_f(c)=\sup_{\delta>0,\delta\to 0}\{|f(x)-f(y)|:x\in B(x,\delta)\cap (a,b)\}\leq \epsilon$
لذا $\omega_f(c)=0$
برعکس: اگر $\omega_f(c)=0$ پس بنابر تعریف $\sup$ برای هر $\epsilon> 0$ یک $\delta> 0$هست که برای هر $x,y\in B(c,\delta)$ داریم $|f(x)-f(y)|< \epsilon$ پس از جمله برای $x\in B(c,\delta)$ داریم $|f(x)-f(c)|< \epsilon$ لذا در $c$ پیوسته است
