کلاس درس احتمال مرکب از 30 دانشجو است

Question

کلاس درس احتمالی مرکب از 30 دانشجو است که 15 نفر از آنها قوی، 10 نفر متوسط و 5 نفر ضعیفند. کلاس درس احتمالی دومی نیز مرکب از 30 دانشجو است که 5 نفر قوی، 10 نفر متوسط و 15 نفر ضعیفند. شما (به عنوان کارشناس) از این اعداد با خبرید ولی نمی دانید مربوط به کدام کلاس است. اگر از دانشجویی که بتصادف از هر کلاس انتخاب شده است امتحان کرده و دریابید که دانشجوی کلاس A دانشجویی متوسط است در حالی که دانشجوی کلاس B ضعیف است، احتمال اینکه کلاس A کلاسی قوی تر باشد چقدر است؟

Answer 1

ابتدا پیشامدهای زیر را تعریف می کنیم:

$A$: کلاس قوی باشد A

$B$: کلاس قوی باشد B

$S_A$: کلاس متوسط باشد A دانشجوی کلاس

$S_B$: کلاس ضعیف باشد B دانشجوی کلاس

با استفاده از قضیه بیز می توان مسئله را به صورت زیر حل کرد:

$\mathbb{P}( A~|~ S_A, S_B ) = \frac{\mathbb{P}( S_A, S_B~|~A )\mathbb{P}(A)}{\mathbb{P}( S_A, S_B~|~A )\mathbb{P}(A)+\mathbb{P}( S_A, S_B~|~B )\mathbb{P}(B)}$

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=\frac{\mathbb{P}( S_A~|~A )\mathbb{P}(S_B~|~A )\mathbb{P}(A)}{\mathbb{P}( S_A~|~A )\mathbb{P}(S_B~|~A )\mathbb{P}(A)+\mathbb{P}( S_A~|~B )\mathbb{P}(S_B~|~B )\mathbb{P}(B)}$

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=\frac{\frac{1}{3}\times\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}}{(\frac{1}{3}\times\frac{1}{2}\times\frac{1}{2})+(\frac{1}{3}\times\frac{1}{6}\times\frac{1}{2})}=\frac{3}{4}$