به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
0 امتیاز
614 بازدید
در دانشگاه توسط MarianJ (6 امتیاز)
ویرایش شده توسط UnknownUser

تفاوت بین همبندی و محدب بودن در تابع چیست؟

با توجه به‌تعاریف و شکلی که در کتاب‌ها دیدم حس می‌کنم این دو، یکی هستند چون هردو نقطه که در این مجموعه باشند می‌توانیم توسط یک خط به هم وصل کنیم و انگار این تعریف برای هردویشان صادق هست. آیا این دو از نظر مفهوم یکی هستند؟

توسط AmirHosein (19,620 امتیاز)
@MarianJ در متن پرسش یک بار نوشته‌اید «در تابع» یک بار نوشته‌اید «هر دو نقطه که در این مجموعه». همبندی و محدب بودن یک مجموعه را بحث می‌کنید یا یک تابع؟ ابتدا باید این را تعیین کنید. توجه کنید که تعریف همبند بودن بوسیلهٔ پاره‌خط یا مسیر بین دو نقطه ایجاد کردن صورت نمی‌گیرد. همبندی و همبندیِ مسیری دو مفهوم مساوی نیستند. محدب‌بودن و همبندی مسیری نیز دو مفهوم مساوی نیستند. اگر به تعریف‌شان نگاه کنید به راحتی برای اثبات نابرابر بودن این دو تعریف می‌توانید مثال بسازید.
توسط MarianJ (6 امتیاز)
@AmirHosein چه جالب، من طبق کتابی که برای آنالیز میخونم برای تعریف محدب بودن اومده بود پاره خط تعریف کرده بود و بعد فاصله‌ی بین x وy در نظر گرفته بود که باید داخل مجموعه میوفتاد. این تعریف محدب برای مجموعه بود.
تو ویکیپدیا انگلیسی مفهوم محدب بودن در فضای بالای نمودار در نظر گرفته بود و که اون هم توسط پاره خط وصل میشد، بعد خودم مفهوم همبندم که با استفاده از شکل متوجه شده بودمو با محدب یکی دیدم، کلا گیج شدم.
بعد الان برام جالب بود گفتین همبندی مسیر با خود همبندی فرق داره، میشه یکم توضیح بدین؟
خیلی ممنون می‌شم.

1 پاسخ

+1 امتیاز
توسط AmirHosein (19,620 امتیاز)
ویرایش شده توسط AmirHosein

ابتدا حواستان باشد که شکل محدب و تابع محدب دو مفهوم جدا هستند. شکل محدب، یک شکل است. تابع محدب، یک تابع است. پس زمانی که صحبت می‌کنید نیایید شکل همبند را با تابع محدب مقایسه کنید.

ابتدا به شکل‌ها بپردازیم. یک شکل (یک زیرمجموعه از $\mathbb{R}^n$) را یک شکلِ (یا مجموعه) محدب گوئیم هر گاه هر دو نقطه مانند $x$ و $y$ از آن برداریم آنگاه هر ترکیبِ خطیِ محدبِ آنها نیز عضو آن شکل باشد. توجه کنید که $x$ و $y$ دو نقطه از فضای $n$ بعدی هستند پس در واقع $n$-تاییِ مرتب هستند. بفرض $x=(x_1,\dots,x_n)$ و $y=(y_1,\dots,y_n)$. یک ترکیب خطی از این دو یعنی دو عدد بردارید در آنها ضرب کنید و حاصل‌ها را جمع کنید. مثلا

$$2x+3y=(2x_1+3y_1,\dots,2x_n+3y_n)$$

چه زمانی یک ترکیب خطی را ترکیب خطی محدب گوئیم هر گاه این دو عدد عددهایی بین صفر و یک باشند و جمع‌شان یک شود. پس یک $\lambda\in [0,1]$ انتخاب کنید و سپس بنویسید

$$\lambda x+(1-\lambda)y$$

این نقطه‌ها روی پاره‌خط بین دو نقطهٔ $x$ و $y$ هستند. پس شرطِ محدب‌بودنِ یک شکل یعنی هر دو نقطهٔ دلخواهی که از آن بردارید باید پاره‌خط وصل‌کنندهٔ بین آن دو نیز درون شکل قرار بگیرد. دایره و مربع و بیضی و بالای سهمی این ویژگی را دارند. ولی پائین سهمی و قلب و ستاره این ویژگی را ندارند.

اکنون برویم سراغ شکل همبند. برای تعریف همبند بودن از توپولوژی استفاده می‌کنیم. یک شکل (زیرمجموعه از $\mathbb{R}^n$) در $\mathbb{R}^n$ با توپولوژی‌اش (مثلا توپولوژی اقلیدسی) همبند است اگر اجتماع دو زیرمجموعهٔ بازِ سره‌اش نشود. اگر توپولوژی نیاموخته‌اید خیلی نیاز نیست وارد جزئیات شوید ولی اگر علاقه داشتید باید به کتاب‌های توپولوژی مراجعه کنید و همهٔ تعاریف‌ را نمی‌توانید در یک پست پرسش بخواهید (به صفحهٔ راهنمای سایت نگاه کنید). قلب و ستاره و پائین سهمی با اینکه محدب نبودند ولی همبند هستند. همهٔ مجموعه‌های همبند را از روی شکلشان با نگاه کردن سریع نمی‌توان تشخیص داد که مثال‌هایش را در تمرین‌های درس توپولوژی می‌بینید. ولی یک نوع همبندی، توجه کنید می‌گوئیم یک نوع همبندی، نمی‌گوئیم همهٔ همبندی‌ها، را می‌توان با نگاه کردن تشخیص داد. این نوع همبندی را ، همبندیِ مسیری (یا همبندی راهی) می‌گویند. تعریفِ آن چیست؟ یک مجموعه را همبندِ مسیری می‌گوئیم هر گاه هر دو نقطهٔ دلخواهش را بتوان با تعدادی پاره‌خط یا خم و منحنی به هم وصل کرد. توجه کنید که در محدب بودن، باید با یک پاره‌خط که درون شکل است به هم وصل شوند ولی در همبندیِ مسیری می‌توان با یک خط شکسته یا منحنی که داخل شکل باشد نقطه‌ها را وصل کرد. در شکل قلب، اگر شما یک نقطه در بالای راست و یک نقطه در بالای چپ قلب بردارید، قسمتی از پاره‌خط وصل‌کننده‌شان بیرون از قلب می‌افتد پس محدب نبود. ولی این دو نقطه را با یک خط شکستهٔ هفتی‌شکل می‌توا به هم وصل کرد (استفاده از دو پاره‌خط) پس همبند مسیری است. هر «همبند مسیری» حتما «همبند» هم است. ولی عکس آن درست نیست، دوباره برای مثال به تمرین‌های کتاب‌های توپولوژی نگاه کنید. به صورت چشمی، وقتی یک شکل همبند مسیری نیست که چند قسمت مجزا از هم داشته باشد. مثلا دو دایرهٔ جدا از هم را اجتماع بگیرید. حاصلش همبند مسیری نیست چون هیچ خط خمی بین نقطه‌های یکی از آنها و نقطه‌های دایرهٔ دیگر نمی‌توانید وصل کنید. یاد بازی‌ای بیفتید که اسم شهرها را بر روی یک کاغذ می‌نوشتید و سپس باید شهرها را به هم وصل می‌کردید بدون اینکه از روی خط‌های قبلی نباید رد می‌شد. منتها اینجا شرط این هست که از داخل شکل بیرون نروید.


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...