ابتدا حواستان باشد که شکل محدب و تابع محدب دو مفهوم جدا هستند. شکل محدب، یک شکل است. تابع محدب، یک تابع است. پس زمانی که صحبت می‌کنید نیایید شکل همبند را با تابع محدب مقایسه کنید.
ابتدا به شکل‌ها بپردازیم. یک شکل (یک زیرمجموعه از $\mathbb{R}^n$) را یک شکلِ (یا مجموعه) محدب گوئیم هر گاه هر دو نقطه مانند $x$ و $y$ از آن برداریم آنگاه هر ترکیبِ خطیِ محدبِ آنها نیز عضو آن شکل باشد. توجه کنید که $x$ و $y$ دو نقطه از فضای $n$ بعدی هستند پس در واقع $n$-تاییِ مرتب هستند. بفرض $x=(x_1,\dots,x_n)$ و $y=(y_1,\dots,y_n)$. یک ترکیب خطی از این دو یعنی دو عدد بردارید در آنها ضرب کنید و حاصل‌ها را جمع کنید. مثلا
$$2x+3y=(2x_1+3y_1,\dots,2x_n+3y_n)$$
چه زمانی یک ترکیب خطی را ترکیب خطی محدب گوئیم هر گاه این دو عدد عددهایی بین صفر و یک باشند و جمع‌شان یک شود. پس یک $\lambda\in [0,1]$ انتخاب کنید و سپس بنویسید
$$\lambda x+(1-\lambda)y$$
این نقطه‌ها روی پاره‌خط بین دو نقطهٔ $x$ و $y$ هستند. پس شرطِ محدب‌بودنِ یک شکل یعنی هر دو نقطهٔ دلخواهی که از آن بردارید باید پاره‌خط وصل‌کنندهٔ بین آن دو نیز درون شکل قرار بگیرد. دایره و مربع و بیضی و بالای سهمی این ویژگی را دارند. ولی پائین سهمی و قلب و ستاره این ویژگی را ندارند.
اکنون برویم سراغ شکل همبند. برای تعریف همبند بودن از توپولوژی استفاده می‌کنیم. یک شکل (زیرمجموعه از $\mathbb{R}^n$) در $\mathbb{R}^n$ با توپولوژی‌اش (مثلا توپولوژی اقلیدسی) همبند است اگر اجتماع دو زیرمجموعهٔ بازِ سره‌اش نشود. اگر توپولوژی نیاموخته‌اید خیلی نیاز نیست وارد جزئیات شوید ولی اگر علاقه داشتید باید به کتاب‌های توپولوژی مراجعه کنید و همهٔ تعاریف را نمی‌توانید در یک پست پرسش بخواهید (به صفحهٔ راهنمای سایت نگاه کنید). قلب و ستاره و پائین سهمی با اینکه محدب نبودند ولی همبند هستند. همهٔ مجموعه‌های همبند را از روی شکلشان با نگاه کردن سریع نمی‌توان تشخیص داد که مثال‌هایش را در تمرین‌های درس توپولوژی می‌بینید. ولی یک نوع همبندی، توجه کنید می‌گوئیم یک نوع همبندی، نمی‌گوئیم همهٔ همبندی‌ها، را می‌توان با نگاه کردن تشخیص داد. این نوع همبندی را ، همبندیِ مسیری (یا همبندی راهی) می‌گویند. تعریفِ آن چیست؟ یک مجموعه را همبندِ مسیری می‌گوئیم هر گاه هر دو نقطهٔ دلخواهش را بتوان با تعدادی پاره‌خط یا خم و منحنی به هم وصل کرد. توجه کنید که در محدب بودن، باید با یک پاره‌خط که درون شکل است به هم وصل شوند ولی در همبندیِ مسیری می‌توان با یک خط شکسته یا منحنی که داخل شکل باشد نقطه‌ها را وصل کرد. در شکل قلب، اگر شما یک نقطه در بالای راست و یک نقطه در بالای چپ قلب بردارید، قسمتی از پاره‌خط وصل‌کننده‌شان بیرون از قلب می‌افتد پس محدب نبود. ولی این دو نقطه را با یک خط شکستهٔ هفتی‌شکل می‌توا به هم وصل کرد (استفاده از دو پاره‌خط) پس همبند مسیری است. هر «همبند مسیری» حتما «همبند» هم است. ولی عکس آن درست نیست، دوباره برای مثال به تمرین‌های کتاب‌های توپولوژی نگاه کنید. به صورت چشمی، وقتی یک شکل همبند مسیری نیست که چند قسمت مجزا از هم داشته باشد. مثلا دو دایرهٔ جدا از هم را اجتماع بگیرید. حاصلش همبند مسیری نیست چون هیچ خط خمی بین نقطه‌های یکی از آنها و نقطه‌های دایرهٔ دیگر نمی‌توانید وصل کنید. یاد بازی‌ای بیفتید که اسم شهرها را بر روی یک کاغذ می‌نوشتید و سپس باید شهرها را به هم وصل می‌کردید بدون اینکه از روی خط‌های قبلی نباید رد میشد. منتها اینجا شرط این هست که از داخل شکل بیرون نروید.
