آیا تابعی که مجموع اثرش روی هر چهار نقطه متمایز صفر باشد، تابع صفر است؟

Question

فرض کنید $ f:\mathbb{R^2}\to \mathbb R $ تابعی باشد به طوریکه به ازای هر مربع $ABCD $ در صفحه داشته باشیم $f(A)+f(B)+f(C)+f(D)=0 $ . آیا از این نتیجه می شود که $f(x)=0 $ به ازای هر $x\in \mathbb{R^2} $ ؟

Answer 1

بله چنین تابعی تابع صفر است. برای اثبات نقطه ی دلخواه $ A $ در صفحه را در نظر می گیریم و نقاطی بصورت زیر را اختیار میکنیم که تمام چهار ضلعی ها مربع هستند.

برای مربع های$ ICEG $ ، $ BDFA $ داریم: $$ 1)f(C)+f(E)+f(G)+f(I)=0 $$ $$ 2)f(B)+f(D)+f(F)+f(H)=0 $$

حال کافیست برای مربع های $ HABI$ ، $ AHGF $ ، $ ADEF $ ، $ ABCD $$$ f(A)+f(B)+f(C)+f(D)=0 $$ $$ f(A)+f(D)+f(E)+f(F)=0 $$ $$ f(A)+f(F)+f(G)+f(H)=0 $$ $$ f(A)+f(H)+f(I)+f(B)=0 $$

با جمع طرفین و توجه به ستون ها و استفاده از روابط $1$ و$2$ بدست می آید که $4f(A)=0 $ لذا $f(A)=0 $ و چون نقطه دلخواه بود لذا $ f $ تابع صفر است

Comments

راه حل جالبی بود.