در تابع زیر مقدار C و $p(x=0) $ را به دست آوردید.

Question

تابع زیر را در نظر بگیرید . $f(x)= \frac{ e^{- \lambda } C^{x} }{x!} $ که $ \lambda >0$ و $x= 0 , 1 ,2 ,3,.....$ مطلوب است : الف) مقدار C را به صورت تابعی از $ \lambda $ طوری پیدا کنید که تابع $f(x)$ تابع چگالی احتمال شود. ب)مقدار $p(x=0)$ و $p(x \geq 2 )$ را نیز به دست آورید.

با سلام . من می دونم که چون x نامتناهی شمارا هست پس گسسته است و باید ویژگی های تابع چگالی احتمال برای متغییر های گسسته رو بررسی کنم که دو تا ویژگی داشته یکی باید بزرگتر مساوی صفر باشه که هست و صحیح هم هست و دوم این که باید $ \sum f(x) =1$ باشه من الان تابع رو گذاشتم توی سیگما ولی نمی دونم چه نوع سری هست که حلش کنم و سری هندسی هم نیست.با آزمون مقایسه حدی هم نوشتم نشد. نمی دونم چه طور حل میشه. ممنون میشم ازتون راهنمایی ام کنید.

Answer 1

اگرcرابرابرلاندا قرار دهید،تابع چگالی احتمالا پواسون بدست میاد.برای محاسبهp(x=0) کافیست f(x=0)را محاسبه کنید. برای محاسبه p(x>=2),به شکل زیر عمل کنید. P(x>=2)=1-p(x<2)=1-(f(0)+f(1)).

Answer 2

به ازای هر عدد حقیقی $C$ داریم :

$$ \sum _{x=0}^{ \infty } \frac{ C^{x} }{x!}=e^{C} $$

از آنجا که $f$ بر تکیه گاه $S= \{0,1,2,3,4,...\} $ یک تابع احتمال است پس :

$$ \sum _{x=0}^{ \infty }f(x)=1$$

بنابراین داریم :

$$\sum _{x=0}^{ \infty } \frac{e^{- \lambda }C^{x}}{x!} =1$$ $$ \Rightarrow e^{- \lambda }\sum _{x=0}^{ \infty } \frac{C^{x}}{x!} =e^{- \lambda }e^{C}=e^{- \lambda +C} =1$$ $$ \Rightarrow - \lambda +C=0$$ $$ \Rightarrow C= \lambda $$

پس مقدار $C$ برابر $ \lambda $ است .

حال احتمال های $p(x=0)$ و $p(x \geq 2) $ را بدست می آوریم :

$$p(x=0)=f(0)= \frac{e^{- \lambda } \lambda ^{0}}{0!} =e^{- \lambda }$$ $$p(x \geq 2)=1-p(x < 2)=1-p(x=0)-p(x=1)$$ $$=1-f(0)-f(1)=1-\frac{e^{- \lambda } \lambda ^{0}}{0!}-\frac{e^{- \lambda } \lambda ^{1}}{1!}=1-e^{- \lambda }- \lambda e^{- \lambda }$$