با سلام به شما
برای اثبات این حکم باید از رابطه ی فیثاغورس کمک بگیریم.
وقتی در یک مثلث قائم الزاویه یکی از زوایای داخلی $45$ درجه است بنابر این زاویه دیگر هم $45$ درجه است. به عبارتی دیگر یک زاویه$90$ درجه و دو زاویه ی $45$ درجه دارد.سپس میتوان از این جمله نتیجه گرفت که این مثلث قائم الزاویه متساوی الساقین است.
حال اگر مقدار ضلع های روبروی این دو زاویه ی $45$ درجه ای را $x$ در نظر بگیریم داریم:
$ x^{2}+ x^{2}=2 x^{2} $
بنابر این مقدار وتر $ \sqrt{2 x^{2} } $ است که اگر کمی ساده کنیم میشود:
$ \sqrt{2 x^{2} }= \sqrt{2}. \sqrt{ x^{2} }= \sqrt{2}.x $
سپس خیلی آسان با جایگذاری این مقدار ها در نسبتِ اندازه ضلع روبروی زاویه $45$ درجه به اندازه ی وتر داریم:
$ \frac{x}{ \sqrt{2}.x }= \frac{1}{ \sqrt{2} } $
که میدانیم $ \frac{1}{ \sqrt{2} } $ همان $ \frac{\sqrt{2}}{2} $ است.
