انتگرال $\int \big( x^{3}+2x \big)dx$ را حساب کنید

Question

به نام خالق ریاضیات

چگونه انتگرال زیر را حساب کنیم؟

$$\int \big( x^{3}+2x \big)dx$$

من خودم این کار را انجام دادم:

$$\int \big( x^{3}+2x \big)dx= \int \big( x^{3} \big)dx + \int \big(2x\big)dx = \frac{ x^{4} }{4}+ x^{2}+C= \frac{1}{4} x^{4}+ x^{2}+C $$

آیا روش دیگری وجود دارد؟!

Comments

سلام وقت بخیر، ساده ترین روشش همینه، روش دیگه ای هم باشه من که ندیدم، اما همین روش که خوبه دیگه

Answer 1

بلی، به روش‌های دیگری هم می‌توانید حاصل را بدست آورید. برای نمونه توجه کنید که $x^3+2x$ برابر است با $x(x^2+2)$ و مشتقِ $x^2+2$ چه می‌شود؟ احتمالا باید الآن متوجه شده‌باشید که چه می‌خواهم بکنم.

\begin{align} \int (x^3+2x)dx &= \int (x^2+2)(xdx)\\ &= \frac{1}{2}\int (x^2+2)(2xdx)\\ &= \frac{1}{2}\int udu\\ &= \frac{1}{2}\frac{u^2}{2}+c\\ &= \frac{1}{4}(x^2+2)^2+c\\ &= \frac{1}{4}(x^4+4x^2+4)+c\\ &= \frac{1}{4}x^4+x^2+1+c\\ &= \frac{1}{4}x^4+x^2+c' \end{align}