Question

تمام اعداد طبیعی $m$ و $n$ را بیابید به‌طوری که $(4^m +1)(4^n +1)$ بر $mn$ بخش‌پذیر باشد. این سؤال چگونه حل می‌شود؟

ویرایشگر: تلاشی از سوی پرسشگر نوشته نشده‌است.

Comments

واضح است که $m,n$ هیچ کدام زوج نیستند. من فکر کنم باید $m=5^k$ و $n=5^r$ باشد که $k,r$ اعداد صحیح نامنفی اند.

---

راه حلتون رو میشه توضیح بدید

Answer 1

با درود. برای اینکه همه جوابها را بدست بیاوریم باید اعداد اول $p,q$ را پیدا کنیم که بصورت $4^p+1$ و $4^q+1$ به ترتیب بر $p$ و $q$ بخشپدیر باشند. آنگاه حاصلضربشان بر $p×q$ بخشپذیر خواهد بود. با توان $p=2$ ممکن نیست زیرا حاصل $4^2+1$ فرد است و بر توان $p=2$ بخشپذیر نخواهد بود. بنابراین به سراغ اعداد اول فرد میرویم. طبق قضیه فرما داریم

$$4^{p}\stackrel{p}{\equiv}4$$

بنابر صورت مسئله، هر عدد اولی بجای $p$ جایگزین شود، با افزودن $1$ به طرفین همنهشتی فوق، با $5$ همنهشت میشود. چون $5$ نسبت به هر عدد اول دیگری اول است، یعنی $(5,p)=1$ بنابراین هیچ عدد اولی با قرار گرفتن در صورت مسئله، با صفر همنهشت نمیشود بجز 5 و توانهای آن. دیدگاه دوست عزیز @Elyas1 کاملاً درست است. با آرزوی موفقیت و تندرستی.

Comments

منظور از قسمت اول صحبتتان رو نفهمیدم. یعنی چی باید اعداد اولی را پیدا کنیم که بصورت 4p+1 و 4q+1 به ترتیب بر p و q بخشپدیر باشند. اگر قرار باشه 4p+1 اول باشه که دیگه نمیتونه به p بخش پذیر باشه. اگر ممکنه پارگراف اول رو توضیح بیشتری بدید

---

@WOANADIUM
با درود. البته شما p , q را بصورت مضرب نوشته اید که در صورت مسئله بشکل توان آمده. منظور بنده اول بودن توانهاست یعنی p,q و نه کل عبارت. برای پیشگیری از سوء تفاهم جوابم را اصلاح کردم. اگر توان p یا q عدد اول فرد باشند، اتحاد زیر را میتوانید در کتابهای ریاضی بیابید.

$4^{p}+1=(4+1)(4^{p-1}- 4^{p-2} + ...-4^1+1^{p-1})$

سمت راست این اتحاد ثابت میکند اگر p=5 باشد، سمت چپ آن بر ۵ بخشپذیر است. مثال:

$4^5+1=1025 \stackrel{5}{\equiv}0 $

از توجهتان به ریز موارد لازم سپاسگزارم. با آرزوی موفقیت و تندرستی.

---

@ناصرآهنگرپور از اینکه:

$4^p \equiv 4 (modp) \Longrightarrow 4^p+1 \equiv 5 mod(p)$

نتیجه می گیریم که $p$ اگر برابر با $5$ باشد، آنگاه $4^p+1$ بر $p$ بخش پذیر است. حال سوالی که دارم این است که چگونه نتیجه گرفتید که اگر $p=5^r$ باشد و $r$عددی طبیعی، آنگاه $4^{5^r}+1$ بر $p=5^r$ بخش پذیر است؟

---

@Elyas1 :

با درود و تشکر از توجهتون . چون هیچ عدد دیگری بغیر از 5 بجای m,n در صورت مسئله صدق نمیکند، طبیعی است که هر تعداد $r$ از این نوع اعداد را بهم ضرب کنیم، حاصل بر $5^r$ بخشپذیر خواهد بود. از طرف دیگر چون $4=5-1$ داریم

$(5-1)^{5}+1\stackrel{5}{\equiv}0$

با گسترش پرانتز همنهشتی فوق، وضعیت بصورت زیر شکل میگیرد

$(5^5-5×5^4+10×5^3-10×5^2+5×5^1-1)^r+1\stackrel{5}{\equiv}0$

طبیعی است اگر پرانتز همنهشتی فوق که بشکل توان پنجم است، به هر توان $r$ برسانیم، کل جملات سمت چپ همنهشتی فوق نیز به همان توان یعنی $5^r$ بخشپذیر خواهند بود. توجهتان به نکات ریز مسائل، جای تقدیر دارد. با آرزوی موفقیت و تندرستی.

---

@Elyas1 : با درود به دوست عزیز. در دیدگاه اخیرم پرانتز و توان $r$ را از قلم انداخته بودم که تصحیح کردم. امیدوارم باعث سردرگمی نشده باشم. موفق باشید.