Question

معادله دیفرانسیل زیر را حل کنید.

$2y y^{(2)} -3y' ^2 =4y^2$

با سلام. من در تشخیص این معادله مشکل دارم. این معادله رو به در روش: یه بار به روش این که معادله فاقد $x$ هست و با جاگذاری $v=y'$ و "y که از همین $v $ به دست آوردم، و حل کردم.

و یه بار هم از روش معادله همگن حل کردم.

برای حل کردنش مشکلی ندارم. فقط این معادله هم همگن هست و هم فاقد $x$.

نمی دونم کدومش هست. ممنون میشم راهنمایی ام کنید.

Comments

معادله همگن نیست. یک معادله فاقد $x$ است و با تغییر متغیری که گفتین حل میشه

---

@M.SH اینکه گفته‌اید معادلهٔ دیفرانسیل‌تان یعنی «$2yy^{(2)}-3(y')^2-4y^2=0$» همگن است را درست گفته‌اید، بر خلاف دیدگاهِ یک ساعت پیشِ @AbbasJ که گفته‌اند «معادله همگن نیست»، احتمالا ایشان این اشتباه را دارند که فکر می‌کنند تنها معادله دیفرانسیل‌های همگن به شکل معادله‌ دیفرانسیل‌های مرتبهٔ اول که $y'=f(x,y)$ هستند که $f$ یک تابع همگن است یا اینکه فقط معادله‌ دیفرانسیل‌های نامرتبهٔ اول خطی بدون ثابت را همگن می‌دانند. در صورتی که معادلهٔ دیفرانسیل نامرتبهٔ اول و ناخطی نیز می‌تواند همگن باشد. می‌توانید به این صفحهٔ ویکی‌پدیا
https://en.wikipedia.org/wiki/Homogeneous_differential_equation
یا این پست از سایت math.stackexchange نگاه کنید که در یکی از پاسخ‌ها حتی یک مرجع نیز نام برده‌شده‌اند. بعلاوه شکلِ کلیِ معادله‌دیفرانسیل‌های مرتبهٔ دوی همگن را هم آورده‌است که معادلهٔ شما در آن صدق می‌کند.
https://math.stackexchange.com/questions/2178350/can-a-homogeneous-differential-equation-be-nonlinear
@kazomano @fardina

---

@AmirHosein  من فکر میکنم منظور @AbbasJ از همگن مربوط به معادلات مرتبه اول هستش که اون معادلات با تغییر متغیر y=vx حل میشد. اما اینجا معادله از مرتبه اول نیست و معادله همگن هستش.

---

@AmirHosein البته صحبت شما در خصوص معادلات همگن غیرخطی درست است و من تشکر می کنم. ولی یک معادله خطی همگن به صورت

$a_n(x)y^{(n)}+a_{n-1}(x)y^{(n-1)}+\cdots+a_1(x)y'+a_0(x)y=0$

است که منظور من نیز همین بوده است، نه چیزی که شما احتمال داده اید. آیا راه حلی برای حل این معادله، با در نظر گرفتن آن به عنوان یک معادله همگن غیرخطی دارید؟

---

@AbbasJ نوشته‌اید «نه چیزی که شما احتمال داده اید»، دیدگاهم را دوباره بخوانید، نوشته‌ام «احتمالا ایشان این اشتباه را دارند که فکر می‌کنند تنها معادله دیفرانسیل‌های همگن به شکل معادله‌ دیفرانسیل‌های مرتبهٔ اول که y′=f(x,y) هستند که f یک تابع همگن است یا اینکه فقط معادله‌ دیفرانسیل‌های نامرتبهٔ اول خطی بدون ثابت را همگن می‌دانند»
خب این چیزی که در دیدگاه جدیدتان نوشتید دقیقا مورد دومی است که من احتمال دادم! گفته‌ام $p$ یا $q$، که $q$ را نوشته‌ام «معادله دیفرانسیل‌های نامرتبهٔ اول خطی بدون ثابت». چیزی که نوشتید نیز نامرتبهٔ اول است چون مشتق بالاتر از ۱ دارد، همگن است، ثابت نیز ندارد!
برای تشکر بر روی سه‌گوش رو به بالای سمت راست کلیک کنید، همانطور که بر روی سه‌گوش رو به پائین سمت راست چند دیدگاه دیگرم کلیک کرده‌بودید.

---

خب شما باز هم همون اشتباه را انجام دادید و نمی دانم چه اصراری دارید که افراد را قضاوت کنید. من کاملا می دانم که معادلات غیرخطی همگن هم داریم، ولی این معادلات در هیچ تکست کلاسیکی (منظور کتب معادلات دیفرانسیل مقدماتی است) مورد بحث قرار نگرفته اند. علی رغم اینکه معادله مورد اشاره، همانطور که شما گفتید، یک معادله همگن است، ولی در تمام تکستهای کلاسیک، این معادله و امثالهم، به روشی که گفتم حل می شوند.

---

@AbbasJ دفعهٔ اول که گفتید پرسش‌کننده @M.SH اشتباه کرده‌اند که می‌گویند همگن است. دفعهٔ دوم گفتید که من حدس اشتباهی از اینکه شما همگن را به چه معنا گرفته‌اید، این دفعه می‌گوئید که من اشتباه کرده‌ام که در کتابی که شما برای معادله‌دیفرانسیل مرجع می‌دانید معادلهٔ همگن را چگونه تعریف کرده‌اند.
خب دیدگاه نخست من گفته «همگن» فقط برای مرتبهٔ اول یا خطی به کار نمی‌رود و چیزی که دفعهٔ اول گفتید یعنی «معادلهٔ پرسش همگن نیست» نادرست است و احتمالا شما فقط همگن‌های مرتبهٔ اول «یا» خطی را دیده‌اید. بعد در دیدگاه دوم گفتم که چیزی که دفعهٔ دوم گفتید یعنی اینکه شما گفته‌اید من اشتباه حدس زده‌ام و شما معادلهٔ خطی نامرتبهٔ اول همگن را مدنظر داشتید جملهٔ نادرست است چون در حدس من دقیقا «خطی نامرتبهٔ اول» که در دیدگاه دوم‌تان آورده‌اید یاد شده! حالا در جواب چیزی که دفعهٔ سوم گفته‌اید، من که نمی‌دانم شما چه کتابی را برای معادله دیفرانسیل استفاده می‌کنید، ولی آیا در دو دیدگاه قبلم چیزی شبیه به این می‌بینید که گفته‌باشم در کتاب فلان، فلان نوشته‌شده‌است؟ خیر، دو پیوند داده‌ام یکی ویکی‌پدیا یکی math.stackexchange و گفته‌ام در پیوند دوم مرجع هم آورده‌شده‌است. خب کجایش اشتباه هست؟ و در کجای دیدگاه‌های من از روش حل کردن این یا هر گونهٔ دیگری معادله صحبت شده‌است؟ بعد هم پیام خصوصی فرستاده‌اید که به جای بحث علمی، شخصی نگاه می‌کنم. فردی به شما می‌گوید فلان جمله‌ای که نوشتید از دید ریاضی نادرست است، بعد شما ناراحت شدید. کدام یک از این دو فرد شخصی نگاه کرده‌اند و کدام علمی؟ قبلا هم برایتان در دیدگاه دیگری گفتم، من هم اشتباه می‌کنم و ممکن است فردی این اشتباهم را به من بگوید، خیلی خوشحال می‌شوم و تصحیح می‌کنم. نه خجالت دارد نه ناراحت شدن.