من این طور متوجه میشم که منظور از $B(X,Y)$ فضای برداری عملگرهای خطی از $X$ به $Y$ است.با این فرض فضای فوق نرم دار است و:
$ | | T-S | | =Sup_{| | x | | \leq 1} | | T(x)-S(x) | | $
حالا فرض کنید که $B(X,Y)$ باناخ ( هر دنباله کوشی در آن همگراست ) است و $ \phi $ یک تابعک خطی غیر صفر است (یک عملگر خطی از $X$ به $F$ به عنوان یک فضای برداری است .در ضمن $ F $ اعداد حقیقی یا مختلط است ) لذا یک $x_0$ از $X$ موجود است که $ \phi (x_0)=1$.(?)
حالا برای هر $y \in Y$ تعریف کنید:
$T_y:X \rightarrow Y,T(x)= \phi (x)y ,x \in X$
به سادگی می توان نشان داد که $T_y \in B(X,Y)$.
حالا اگر
$(y_n)_{n \in N}$
یک دنبالۀ کوشی در
$Y$
باشد توجه کنید
$(T_{y_n})_{n \in N}$
نیز کوشی است و لذا به
$T \in B(X,Y)$
همگراست و از آنجا
$(y_n)_{n \in N}$
به $T(x_0)$ همگراست و لذا $Y$ باناخ است.
$ \Box $
