نام انتگرال نخست را $I$ بگذارید، یا به عبارت دیگر، حاصلِ آن را با $I$ نشان دهید، پس $I=\int_{-\infty}^\infty e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}}dx$. اینک به انتگرالِ داخل راهنمایی نگاه کنید.
$$\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty e^{-\frac{x^2+y^2}{2\sigma^2}}dxdy$$
در چند خط پَسین از گذاشتنِ کران انتگرالها خودداری کردیم برای کوتاهترنویسی و با توجه به اینکه در این چند خط تمام بازهها از منفیبینهایت تا مثبتبینهایت هستند، پس ابهامی ایجاد نخواهد کرد.
\begin{align}
\int\int e^{-\frac{x^2+y^2}{2\sigma^2}}dxdy &= \int\int e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}}e^{-\frac{y^2}{2\sigma^2}}dxdy\\
&= \int e^{-\frac{y^2}{2\sigma^2}}(\int e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}}dx)dy\\
&= (\int e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}}dx)(\int e^{-\frac{y^2}{2\sigma^2}}dy)\\
&= I^2
\end{align}
پس اگر راهنماییای که پرسش دادهبود یعنی اینکه حاصل انتگرال بالا برابر با $2\pi\sigma^2$ میشود را ثابت کنید آنگاه دارید که $I^2=2\pi\sigma^2$. پس $I=\sqrt{2\pi\sigma^2}$. بعلاوه توجه کنید که چون برای هر $x\in\mathbb{R}$ داریم که $e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}}$ مقداری مثبت است، پس انتگرال آن بر روی $\mathbb{R}$ یعنی $I$ نیز باید عددی مثبت باشد. پس از بین دو پاسخِ مثبت و منفیِ جذر آخر، تنها پاسخ مثبت پذیرفته است. یعنی $I=\sqrt{2\pi}|\sigma|$.
اینک به سراغ اثبات ادعای آمده در راهنمایی برویم. تغییر متغیرِ دوگانهٔ زیر را در نظر بگیرید.
\begin{align}
x &= r\cos\theta\\
y &= r\sin\theta
\end{align}
برای بازنویسیِ انتگرالمان ابتدا باید دترمینان ماتریس ژاکوبیِ این تبدیلمتغیر را محاسبه کنیم.
$$\det(J)=\begin{vmatrix}
\cos\theta & -r\sin\theta\\
\sin\theta & -r\cos\theta
\end{vmatrix}=r\cos^2\theta+r\sin^2\theta=r$$
افزون بر این توجه کنید که زمانی که $x$ و $y$ بین منفیبینهایت و مثبتبینهایت تغییر میکنند، $r$ و $\theta$ به ترتیب بین صفر و مثبتبینهایت و صفر و دوپی تغییر میکنند (در واقع پوشش دادنِ کل صفحهٔ مختصات در دو مختصاتِ دکارتی و قطبی). پس انتگرالِ داخل راهنمایی به شکل زیر بازنویسی میشود.
\begin{align}
\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty e^{-\frac{x^2+y^2}{2\sigma^2}}dxdy &= \int_0^\infty\int_0^{2\pi}e^{-\frac{r^2}{2\sigma^2}}rd\theta dr\\
&= \int_0^\infty re^{-\frac{r^2}{2\sigma^2}}(\int_0^{2\pi}d\theta)dr\\
&= 2\pi\int_0^\infty re^{-\frac{r^2}{2\sigma^2}}dr\\
&= 2\pi\frac{-2\sigma^2}{2}\int_0^\infty\frac{-2r}{2\sigma^2}e^{-\frac{r^2}{2\sigma^2}}dr\\
&= -2\pi\sigma^2(e^{-\frac{r^2}{2\sigma^2}}]_0^\infty\\
&= -2\pi\sigma^2(0-1)\\
&= 2\pi\sigma^2
\end{align}
