چرا عملِ توان ویژگی جابجایی ندارد؟

Question

می‌دانیم که در ریاضیات، در مجموعهٔ اعداد حقیقی ($\mathbb{R}$) دو عمل جمع و ضرب دارای خاصیت جابه‌جایی هستند.

$$\forall x, y\in \mathbb{R} : x\cdot y=y\cdot x$$ $$\forall x, y\in \mathbb{R} : x + y=y + x$$

اما پرسشی که ذهنم را درگیر کرده‌است، این است که چرا عمل توان چنین خاصیتی ندارد؟ برای مثال: $3^2≠2^3$. علت اصلی این موضوع چیست؟

Answer 1

به نام خدا

جمع، می‌تواند نشان‌دهندهٔ کنار هم قرار دادن دو سبد اقلام و شمارش کل اقلام باشد. مهم نیست که شمردن را با کدام سبد شروع می‌کنید، به هر حال، بدیهی است که در هر حالت، به یک عدد یکسان می‌رسید. پس به همین دلیل، می‌توان نتیجه گرفت که عمل جمع، خاصیت جابه‌جایی دارد.

---

در مورد ضرب، ابتدا مستطیل زیر را در نظر بگیرید:

می‌دانیم که مساحت مستطیل برابر است با: طول $\times$ عرض. پس اگر مساحت مستطیل بالا را با $S$ نشان دهیم، آنگاه:

$$S=b \times a$$

می‌دانیم که چرخاندن مستطیل یا هر شکل دیگری، تغییری در مساحت آن ایجاد نمی‌کند. پس می‌توانیم مستطیل بالا را 90 درجه بچرخانیم.

در این صورت مساحت آن برابر می‌شود با:

$$S=a \times b$$

در نتیجه:

$$\left.\begin{array}{l} S=b \times a\\ S=a \times b \end{array}\right\rbrace\Longrightarrow a \times b=b \times a$$

پس به همین سادگی می‌توان نتیجه گرفت که عمل ضرب، دارای خاصیت جابه‌جایی است.

---

اما در مورد توان، ماجرا به‌کلی متفاوت است. ما اکنون از یک خط، به یک مربع و به یک مکعب (و حتی ابعاد بالاتر)، در حال حرکت هستیم. وقتی عملیات را معکوس می‌کنیم، معنی کاملاً متفاوتی دارد. اگر یک مربع $3 \times 3$ ($3^2$) داشته‌باشیم، این مربع با یک مکعب $2 \times 2 \times 2$ ($2^3$) یکسان نیست. یا مثلاً اگر یک خط به طول $3$ ($3^1$) سانتی‌متر داشته‌باشیم، بدیهی است که این خط، با یک مکعب $1 \times 1 \times 1$ ($1^3$) یکسان نیست. پس به همین دلیل، می‌توان گفت که توان، خاصیت جابه‌جایی ندارد. یعنی اگر $x,y\in\mathbb{R}$ و $x\not = y$، آنگاه معمولاً (در بیشتر مواقع) $x^y\not = y^x$.

Answer 2

توجه داشته باشید که مثلا $2^{3}$ یعنی 2 را 3 بار در خودش ضرب کنیم و این 3 به همین دلیل نما نامیده میشود و عوامل این محاسبه در ضرب 2 هستند ولی در $3^{2}$ عوامل محاسبه 3 هستند .

Answer 3

به‌نظرم سؤال‌تان خیلی بنیادی است، یعنی یک‌مقدار حالت عجیب هم پیدا کرده! من فکر می‌کنم که شما اینطوری فکر کردین: عمل جمع خاصیت جابجایی داره. از کجا فهمیدیم؟ از تجربی فهمیدیم اگه تو ظرف 2 تا سیب داشته باشیم و 3 تا بهش اضافه کنیم میشه 5 تا. از طرفی اگه تو ظرف بجای 2 تا، 3 تا سیب داشته باشیم و بجای 3 تا، 2 تا بهش اضافه می‌کنیم میشه 5 تا. و نتیجه گرفتیم که جمع خاصیت جابجایی داره. همین رو برای عمل ضرب هم انجام دادیم و دیدیم که نتیجۀ مشابه داد بهمون. و احتمالاً به ذهن‌مان خطور می‌کند و با خود می‌گوئیم که خب شاید مثلاً عمل رادیکال یا تقسیم یا توان یا ... هم همین خاصیت رو داشته‌باشن.

ولی به‌نظرم این درست نیست. در واقع نتیجه‌ای که مربوط به یک بحث هست رو نباید به موضوع دیگه تعمیم بدید! مباحث رو قاطی نکنین، بعبارتی هر گردی گردو نیست! صادقانه بگم خودم هم گیج شدم ولی حس می‌کنم سؤال ایراد دارد. وقتی می‌گوئیم که عمل توان چرا این خاصیت رو ندارد، احتمالاً به ذهن‌تون میاد که در ضرب و تقسیم، (در تصویر!) (و در ظاهر!) (منظورم شکل نوشتاری هست که ما مفاهیم ریاضی رو می‌نویسیم) جای 2 تا عدد رو عوض کردین و جواب یکسان بود. ولی حالا چرا توان اینطوری نبود؟

سؤال‌تان اشتباهه، چون با پیش‌فرض(!) به مسئله نگاه کردین. در واقع شما با این پیش‌فرض اشتباه اومدین جلو که خب حالا که ضرب و تقسیم این خاصیت رو دارن، پس حتماً توان هم این خاصیت رو داره. ولی می‌بینین که این خاصیت رو نداشته و تعجب می‌کنید. این اشتباه هست که بنده بخواهم به یک نتیجه برسم ولی با پیش‌فرض برم جلو.

صرف نظر از اینکه عمل جمع و ضرب این خاصیت رو دارند یا نه، به مسئله نگاه کنید. ذهن‌تان رو کاملاً خالی کنید! حالا از خودتون بپرسید که توان خاصیت جابجایی دارد یا خیر؟ می‌توانید چند مثال حل کنید و متوجه می‌شوید که توان خاصیت جایجایی ندارد.

به‌صورت پارامتری هم بخواهم بگویم، 2 تا عدد غیر صفر $x$ و $y$ رو در نظر بگیرید. به‌صورتی که $x\not =y$. سپس $x$ به توان $y$ یعنی $x$ رو $y$-بار در خودش ضرب کنیم. یعنی فقط $x$ داریم. برای $y$ به توان $x$ هم فقط $y$ داریم و غیر ممکنه که این 2 تا عدد مساوی هم باشن. می‌پرسید چرا؟

اگر $x^y=a$ و $y^x=b$، آنگاه دو عدد $a$ و $b$ چگونه می‌توانند برابر با هم‌دیگر باشند، وقتی مقسوم‌علیه‌هاشون یکی نیست؟

Comments

با سلام
صرفا در مورد قسمت آخر جوابتون که گفتین غیر ممکن: ۴^۲ = ۲^۴، البته نمی‌دونم چه تعداد و در چه شرایطی این برابری اتفاق می‌افته.

Answer 4

توجه کنید که در جمع، دو جمعوند داریم که معنایشان با هم فرقی ندارد. در ضرب هم همینطور. ولی در توان دو عضوی که دارید در یک پُست و جایگاه یکسان نیستند، بلکه یکی پایه و یکی نما است که پایه و نما معنای یکسانی ندارند، بنابراین «جابجا کردن دو عضو جمع» خیلی هم شبیه به «جابجا کردن دو عضو توان» نیست.

Comments

@Alighotbi به ویرایشی که بر روی متن‌تان کردم نگاه کنید. کمی دقت بیشتر در نوشتن و توضیح بیشتر می‌تواند متن را برای خواننده‌های بیشتری روشن کند. به هر حال طرز نگاه خوبی بود ۱+

---

ممنون
خیلی خوب شد