برای دنبالهٔ حسابی دلخواه $a_n$ عبارت $\frac{1}{a_1a_2}+\frac{1}{a_2a_3}+\cdots+\frac{1}{a_{39}a_{40}}$ را بیابید.

Question

اگر $a_n$ یک دنبالهٔ حسابی باشد، آنگاه حاصل عبارت زیر را به دست آورید:

$$ \frac{1}{a_1a_2}+\frac{1}{a_2a_3}+\cdots+\frac{1}{a_{39}a_{40}} $$

Comments

دوست عزیز با تشکر از سوال خوبتون.من سوالتونو ویرایش کردم. برای اینکه بتونید سوالتونو ویرایش کنید، دیدگاه بذارید، از جواب دادن به سوالتون خبرداربشید و از تمام امکانات دیگر سایت استفاده کنید حتما عضو سایت بشید. و برای تایپ ابتدا قسمت راهنمای تایپ را مطالعه بفرمایید.

Answer 1

اولا باید در نظر داشت که این جملات صفرنیستند تا مخرج رو صفر نکنن. حال فرض کنید $$ d= a_{2} - a_{1} =...=a_{40} -a_{39} > 0 $$ با تجزیه کردن داریم که $$ \begin{cases} \frac{1}{ a_{1} a_{2}} = \frac{a_{2}-a_{1}}{a_{1} a_{2}}. \frac{1}{d} =( \frac{1}{a_{1}}- \frac{1}{a_{2}} ). \frac{1}{d} \\ \frac{1}{ a_{2} a_{3}} = \frac{a_{3}-a_{2}}{a_{2} a_{3}}. \frac{1}{d} =( \frac{1}{a_{2}}- \frac{1}{a_{3}} ). \frac{1}{d} \\...\\...\\ \frac{1}{ a_{39} a_{40}} = \frac{a_{40}-a_{39}}{a_{39} a_{40}}. \frac{1}{d} =( \frac{1}{a_{39}}- \frac{1}{a_{40}} ). \frac{1}{d} \end{cases} $$

حال با جمع کردن طرفین داریم که $$ \frac{1}{a_{1} a_{2}}+ \frac{1}{a_{2} a_{3}}+...+ \frac{1}{a_{39} a_{40}}= ( \frac{1}{a_{1}}- \frac{1}{a_{40}} ). \frac{1}{d} = $$ $$ = \frac{a_{40}-a_{1}}{a_{1}a_{40}}. \frac{1}{d} = \frac{39d}{a_{1}a_{40}}. \frac{1}{d}= \frac{39}{a_{1}a_{40}} $$

توجه کنید که در دنباله حسابی داریم $a_{40}=a_{1}+39d $ .

Comments

جوابت زیرکانه و هوشمندانه بود دست خوش

Answer 2

با استفاده از استقرا روی $ n $ میتوان ثابت کرد:

$ \frac{1}{a(a+b)} + \frac{1}{(a+b)(a+2b)} +....+ \frac{1}{(a+(n-1)b)(a+nb)} = \frac{n}{a(a+nb)} $

لذا جواب مسئله فوق با توجه به رابطه ی اخیر برابر است با $ \frac{40}{a(a+40d)} $ که در آن $ d $ قدر نسبت دنباله ی حسابی است.

Comments

اما توی گزینه ها همچین گزینه ای نیست. 1) $ \frac{39}{a _{1} a _{40} } $ 2) $ \frac{90}{a _{1} a _{40} } $ 3) $ \frac{78}{a _{1} a _{40} } $ 4) $ \frac{80}{a _{1} a _{40} } $ اگه میشه اینو هم توضیح بدین.

---

بنابر آنچه zh نوشته اگر جملات دنباله حسابی را به صورت $$ a_1, a_2=a_1+d,...,a_n=a_1+(n-1)d,...$$ در نظر بگیریم در اینصورت: $$\frac{1}{a_1a_2}+\frac{1}{a_2a_3}+...+\frac{1}{a_na_{n+1}}=\frac{n}{a_1a_{n+1}} $$

حالا در مساله شما $n+1=40 \Rightarrow n=39 $ یعنی جواب برابر است با: $\frac{n}{a_1a_{n+1}}=\frac{39}{a_1a_{40}} $

پس گزینه اول درست است.

---

این قسمت اولشو خوب متوجه نشدم ، میشه یکم بیشتر توضیح بدین.

---

ما یک دنباله حسابی داریم به صورت : $a_1, a_2, a_3,..., a_n=a_1+(n-1)d,...$ در اینصورت برای دنباله حسابی بالا این فرمول رو داریم: $\frac{1}{a_1a_2}+\frac{1}{a_2a_3}+...+\frac{1}{a_na_{n+1}}=\frac{n}{a_1a_{n+1}}$.( که این مطلب با استقرا ثابت میشه).

---

آقا خیلی ببخشید، ولی من نفهمیدم ، میشه بیشتر تجزیه اش کنید . با تشکر فراوان

---

خواهش میکنم. ولی نمیدونم دقیقا کجا رو متوجه نمیشید؟ ما برای هر  دنباله حسابی اون فرمول رو داریم. اگه اثبات اون فرمول رو میخواید باید در یک سوال جدید بپرسید.

---

قسمتی که نوشتید    $  \frac{n}{a _{1} a _{n +1}  }  $  $=$  $  \frac{1}{a _{n} a _{n + 1}   }  $  $ + $ $...$

---

خوب این فرموله دیگه. اثبات $\frac{1}{a_1a_2}+\frac{1}{a_2a_3}+...+\frac{1}{a_na_{n+1}}=\frac{n}{a_1a_{n+1}}$ با استقرا به سادگی انجام میشه.(اگه در اثباتش مشکل دارید در یک سوال دیگه اثباتشو بپرسید) خوب حالا شما دنبال $\frac{1}{a_1a_2}+\frac{1}{a_2a_3}+...+\frac{1}{a_{39}a_{40}}$ هستید یعنی $n+1=40$ و لذا باید$n=39$ بشه دیگه. پس بنا برفرمول بالا اگه $n$ رو $39$ بذارید داریم $\frac{n}{a_1a_{n+1}}=\frac{39}{a_1a_{39+1}}=\frac{39}{a_1a_{40}}$