به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+3 امتیاز
821 بازدید
در دبیرستان توسط
ویرایش شده توسط AmirHosein

اگر $a_n$ یک دنبالهٔ حسابی باشد، آنگاه حاصل عبارت زیر را به دست آورید:

$$ \frac{1}{a_1a_2}+\frac{1}{a_2a_3}+\cdots+\frac{1}{a_{39}a_{40}} $$
توسط fardina (17,407 امتیاز)
+1
دوست عزیز با تشکر از سوال خوبتون.من سوالتونو ویرایش کردم. برای اینکه بتونید سوالتونو ویرایش کنید، دیدگاه بذارید، از جواب دادن به سوالتون خبرداربشید و از تمام امکانات دیگر سایت استفاده کنید حتما عضو سایت بشید. و برای تایپ ابتدا قسمت راهنمای تایپ را مطالعه بفرمایید.

2 پاسخ

می توانید به پاسخ(ها) امتیاز دهید یا آن را انتخاب کنید.

+4 امتیاز
توسط jafar (532 امتیاز)
ویرایش شده توسط AmirHosein
 
بهترین پاسخ

اولا باید در نظر داشت که این جملات صفرنیستند تا مخرج رو صفر نکنن. حال فرض کنید $$ d= a_{2} - a_{1} =...=a_{40} -a_{39} > 0 $$ با تجزیه کردن داریم که $$ \begin{cases} \frac{1}{ a_{1} a_{2}} = \frac{a_{2}-a_{1}}{a_{1} a_{2}}. \frac{1}{d} =( \frac{1}{a_{1}}- \frac{1}{a_{2}} ). \frac{1}{d} \\ \frac{1}{ a_{2} a_{3}} = \frac{a_{3}-a_{2}}{a_{2} a_{3}}. \frac{1}{d} =( \frac{1}{a_{2}}- \frac{1}{a_{3}} ). \frac{1}{d} \\...\\...\\ \frac{1}{ a_{39} a_{40}} = \frac{a_{40}-a_{39}}{a_{39} a_{40}}. \frac{1}{d} =( \frac{1}{a_{39}}- \frac{1}{a_{40}} ). \frac{1}{d} \end{cases} $$

حال با جمع کردن طرفین داریم که $$ \frac{1}{a_{1} a_{2}}+ \frac{1}{a_{2} a_{3}}+...+ \frac{1}{a_{39} a_{40}}= ( \frac{1}{a_{1}}- \frac{1}{a_{40}} ). \frac{1}{d} = $$ $$ = \frac{a_{40}-a_{1}}{a_{1}a_{40}}. \frac{1}{d} = \frac{39d}{a_{1}a_{40}}. \frac{1}{d}= \frac{39}{a_{1}a_{40}} $$

توجه کنید که در دنباله حسابی داریم $a_{40}=a_{1}+39d $ .

توسط erfanm (13,856 امتیاز)
جوابت زیرکانه و هوشمندانه بود دست خوش
+2 امتیاز
توسط zh (1,192 امتیاز)
ویرایش شده توسط fardina

با استفاده از استقرا روی $ n $ میتوان ثابت کرد:

$ \frac{1}{a(a+b)} + \frac{1}{(a+b)(a+2b)} +....+ \frac{1}{(a+(n-1)b)(a+nb)} = \frac{n}{a(a+nb)} $

لذا جواب مسئله فوق با توجه به رابطه ی اخیر برابر است با $ \frac{40}{a(a+40d)} $ که در آن $ d $ قدر نسبت دنباله ی حسابی است.

توسط pulp (166 امتیاز)
ویرایش شده توسط fardina
+1

اما توی گزینه ها همچین گزینه ای نیست. 1) $ \frac{39}{a _{1} a _{40} } $ 2) $ \frac{90}{a _{1} a _{40} } $ 3) $ \frac{78}{a _{1} a _{40} } $ 4) $ \frac{80}{a _{1} a _{40} } $ اگه میشه اینو هم توضیح بدین.

توسط fardina (17,407 امتیاز)
ویرایش شده توسط fardina
+1

بنابر آنچه zh نوشته اگر جملات دنباله حسابی را به صورت $$ a_1, a_2=a_1+d,...,a_n=a_1+(n-1)d,...$$ در نظر بگیریم در اینصورت: $$\frac{1}{a_1a_2}+\frac{1}{a_2a_3}+...+\frac{1}{a_na_{n+1}}=\frac{n}{a_1a_{n+1}} $$

حالا در مساله شما $n+1=40 \Rightarrow n=39 $ یعنی جواب برابر است با: $\frac{n}{a_1a_{n+1}}=\frac{39}{a_1a_{40}} $

پس گزینه اول درست است.

توسط pulp (166 امتیاز)
این قسمت اولشو خوب متوجه نشدم ، میشه یکم بیشتر توضیح بدین.
توسط fardina (17,407 امتیاز)
ویرایش شده توسط admin
+1
ما یک دنباله حسابی داریم به صورت : $a_1, a_2, a_3,..., a_n=a_1+(n-1)d,...$ در اینصورت برای دنباله حسابی بالا این فرمول رو داریم: $\frac{1}{a_1a_2}+\frac{1}{a_2a_3}+...+\frac{1}{a_na_{n+1}}=\frac{n}{a_1a_{n+1}}$.( که این مطلب با استقرا ثابت میشه).
توسط pulp (166 امتیاز)
آقا خیلی ببخشید، ولی من نفهمیدم ، میشه بیشتر تجزیه اش کنید . با تشکر فراوان
توسط fardina (17,407 امتیاز)
+1
خواهش میکنم. ولی نمیدونم دقیقا کجا رو متوجه نمیشید؟ ما برای هر  دنباله حسابی اون فرمول رو داریم. اگه اثبات اون فرمول رو میخواید باید در یک سوال جدید بپرسید.
توسط pulp (166 امتیاز)
ویرایش شده توسط pulp
+1
قسمتی که نوشتید    $  \frac{n}{a _{1} a _{n +1}  }  $  $=$  $  \frac{1}{a _{n} a _{n + 1}   }  $  $ + $ $...$
توسط fardina (17,407 امتیاز)
+1
خوب این فرموله دیگه. اثبات $\frac{1}{a_1a_2}+\frac{1}{a_2a_3}+...+\frac{1}{a_na_{n+1}}=\frac{n}{a_1a_{n+1}}$ با استقرا به سادگی انجام میشه.(اگه در اثباتش مشکل دارید در یک سوال دیگه اثباتشو بپرسید) خوب حالا شما دنبال $\frac{1}{a_1a_2}+\frac{1}{a_2a_3}+...+\frac{1}{a_{39}a_{40}}$ هستید یعنی $n+1=40$ و لذا باید$n=39$ بشه دیگه. پس بنا برفرمول بالا اگه $n$ رو $39$ بذارید داریم $\frac{n}{a_1a_{n+1}}=\frac{39}{a_1a_{39+1}}=\frac{39}{a_1a_{40}}$

حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...