Question

ثابت کنید که هیچ عددی به فرم $11...111$ که $(n \geq 2)$ مربع کامل نیست.

با سلام. من به این صورت نوشته که چون n تا عدد یک، یک عدد فرد هست پس میشه ۲ نوع نوشت: یعنی اگه از تقسیم بندی بر ۴ استفاده کنیم باید 4k+1 یا ۴k+3 رو به توان دو برسانیم و اگر از تقسیم بندی بر ۸ استفاده کنیم باید ۸k +1 را به توان دو برسانیم. من با ۸k+1 این طور نوشتم که:

$a²=11....11 \Longrightarrow $ $(8k+1)²=11.....11 \Longrightarrow %%MATH_DISPLAY_0%%64k²+16k=11....10 \Longrightarrow $$2(32k²+8k)=11....10 \Longrightarrow $ $2k'=11...10 \Longrightarrow $

حالا طرفین را به اضافه یک می کنیم. که می شود: $2k'+1=11...11$

و نتیجه گرفتم که چون a یک عدد فرد بوده پس $a²$ هم عدد فرد هست و مربع کامل نیست.

آیا چیزی که من نوشتم صحیح هست یا مشکل داره؟ ممنون می شوم راهنمایی بفرمائید.

Comments

@M.SH جملهٔ «چون $a$ یک عدد فرد بوده پس $a^2$ هم عددی فرد است» تناقضی با مربع کامل بودنِ $a$ ایجاد نمی‌کند بلکه برعکس این جمله چه $a$ مربع باشد یا نباشد همواره برقرار است.

Answer 1

هر عدد مربعی یا مضرب ۴ است یا یک واحد بیشتر از یک مضرب چهار است. که احتمالا اثبات آن را خودتان می‌دانید. اکنون چون $\sum_{i=1}^{n-1}10^i$ عددی فرد است پس نمی‌تواند مضرب چهار باشد، تنها حالتی که برای مربع بودنش می‌ماند این است که یک واحد بیشتر از مضربی از ۴ باشد، که یعنی اگر یک واحد از آن کم کنیم آنگاه باید مضرب ۴ بشود. یک واحد از آن کم کردن به ما عدد $\sum_{i=1}^{n-1}10^i$ را می‌دهد یعنی عددهای ۱۰، ۱۱۰، ۱۱۱۰، ۱۱۱۱۰ و ... . خیلی راحت می‌توانید نشان دهید که تقسیمِ $\sum_{i=1}^{n-1}10^i$ برای $n=2$ برابر با $2.5$ است و سپس برای $n$های بزرگتر یا مساوی ۳ برابر با $2(10^{n-1})+\sum_{i=0}^{n-3}10^{i}+0.5$ است یعنی عددهای $27.5$، $277.5$، $2777.5$ و ... . که یعنی به ازای هیچ $n$-ِ بزرگتر یا مساویِ ۲ای عددِ $\sum_{i=0}^{n-1}10^{i}$ به شکلِ $4k+1$ای درنمی‌آید. پس مربع هم نمی‌توانند باشند.

Comments

@AmirHosein. خیلی ممنونم. ببخشید فقط این سیگما رو چطور بفهمیم، من این قسمتش متوجه نشدم. ممنون می شوم راهنمایی کنید.

---

@M.SH شما در پرسش نوشتید ۱۱...۱۱۱ که تعداد ۱ها $n$تا است. این عدد را به جای نوشتن به این شکل می‌توانید به شکل یک جمع بنویسید. توجه کنید که هر رقم از یک عدد را می‌توان به شکل یک عدد یک‌رقمی ضرب‌در یک توانی از ۱۰ نوشت. برای نمونه عددِ ۳۱۳ را می‌توان به شکل ۳۰۰ بعلاوهٔ ۱۰ بعلاوهٔ ۳ یا به عبارتی $3(10^2)+1(10^1)+3(10^0)$ نوشت، نه؟ اکنون $n$تا یک کنار هم را می‌توان نوشت $1(10^{n-1}+10^{n-2}+\dots+1(10^2)+1(10^1)+1(10^0)$ نوشت، نه؟ توجه کنید که یکان ۱۰ به توان صفر دارد و دهگان ده بتوان یک و صدگان ده به توان ۲، پس $n$اُمین عدد دارای ده به توان $n-1$ خواهد بود. خب این جمع را ساده می‌توان با یک زیگما نشان داد که مکان کمتری اشغال کند، یعنی $\sum_{i=0}^{n-1}10^i$. به همین شکل بقیهٔ عددهای نوشته شده به کمک زیگما را می‌توانید متوجه شوید. تنها کاری که کرده‌ایم این است که برای گرفتنِ مکان کمتر، به جای نوشتن سه‌نقطه و بعدش گفتن اینکه چند تا رقم هست و در سه‌نقطه چه چیزهایی نوشته شده‌بوده‌اند، از زیگما استفاده کرده‌ایم.

Answer 2

با درود به همه دوستان و اساتید گرامی. بنظر میرسد با اتحاد اول نیز میتوانیم ثابت کنیم رقم دهگان، $1$ نخواهد بود. اگر مربع کاملی با رقم یکان $1$ شروع شود، رقم یکان ریشه اش $1$ یا $9$ میتواند باشد. در این صورت ثابت میکنیم در هردو حالت رقم دهگان مربع، $1$ نخواهد بود. در اتحادهای زیر $a$ را نماینده بقیه ارقام ریشه درنظر میگیریم.

$(a+1)^2=a^2+2a+1$

همانطور که می بینیم رقم دهگان مربع، با دوبرابر بقیه ارقام شروع میشود که هیچگاه رقم $1$ را ایجاد نمیکند. با یکان $9$ خواهیم داشت.

$(a+9)^2=a^2+18a+81$

چون رقم $8$ از سمت راست به $18a$ افزوده میشود، رقم دهگان مربع، با $18a+8$ یعنی $2(9a+4)$ شروع میشود که صرفنظر از مقدار $a$، هیچگاه با $1$ شروع نخواهد شد. با آرزوی موفقیت و تندرستی.

Comments

@ناصرـآهنگرپور در واقع شما ثابت کردید که نه تنها عدد آمده در متن پرسش بلکه هر عددی که دو عدد سمت راستش ۱۱ باشد، مربع کامل نیست. ۱+

---

@AmirHosein : با درود به دوست واستاد عزیز. از علم ریاضی هرچه دارم در سایه استادان گرانقدر این محفل همانند شماست. تندرست و سرافراز باشید‌. 1+

---

@AmirHosein : با درود مجدد به استاد عزیز. بنظر میاد با همین اتحاد اول میتوان حتی ثابت کرد که اگر هر دو رقم آخر عددی فرد باشند، آن عدد نمیتواند مربع کامل باشد. البته به تحلیل بیشتری نیاز دارد که با اجازه تان بصورت سؤال جدید مطرح میکنم.دیدگاه خوبتان در این نتیجه گیری مؤثر بود. از همراهی مفیدتان سپاسگزارم.

Answer 3

فرض خلف می‌گیریم که عددی به فرم $ 111...1 $ وجود دارد، به طوری که مربع کامل یک عدد طبیعی بزرگتر از $1$ است.

به توجه به اینکه $a^2= 111...1 $ عددی فرد است پس $a$ نیز عددی فرد است. مربع هر عدد فرد در تقسیم بر عدد $8$ باقیمانده‌ا‌ی برابر عدد $1$ دارد ، یعنی: $$ a^2=8k+1 $$ واضح است که اعداد $11,111 $ مربع کامل نیستند.حال اعداد به فرم $ 111...1 $ که تعداد ارقامشان بیشتر از ۴ رقم است را بررسی می کنیم.

$$ \sum^{n}_{i=0} 10^i s.t 3 \leq n $$

$$ \Rightarrow \sum^n_{i=0} 10^i= \sum^n_{i=3}(10^i)+111 $$

$$ \Rightarrow \sum^{n}_{i=3} 10^i +111 \equiv 111 \equiv 7(mod 8)$$

با توجه به اینکه باقیمانده تمامی اعداد به فرم $111...1$ در تقسیم بر $8$ باقیمانده‌ای برابر $1$ ندارد، پس این فرم از اعداد نمی‌توانند مربع کامل باشند.

Comments

@Dana_Sotoudeh ممنونم. ببخشید فقط این سیگما رو چطور بفهمیم، من این قسمتش متوجه نشدم. ممنون می شوم راهنمایی کنید.

---

@M.SH با سلام. ساده تر می‌گویم:
ما دو عدد $ 11,111$ رو بررسی کردیم و چون باقیمانده اش بر ۸ برابر ۱ نبود ، پس مربع کامل نیست. حالا مربع کامل بودن اعداد چهار رقمی و بیشتر از چهار رقمی به فرم $11...1$ رو مورد بررسی قرار می‌دهیم.
$ 1...1=1...1000+111 $
عدد $ 1...1000 $ بر ۸ بخش پذیر است  و باقیمانده $ 111 $ در تقسیم بر ۸ برابر ۷ است. پس تمامی اعداد چهار رقمی و بیشتر از چهار رقم به این فرم باقیمانده ای برابر ۷ دارد ، پس نمی‌توانند مربع کامل باشند.

---

@M.SH توجه کنید که توضیح بالا دقیق نیست فقط برای بیان موضوع به زبان ساده تر آن را این گونه توضیح دادم.

---

@AmirHosein و @Dana_Sotoudeh. بله درسته. متوجه شدم. خیلی ممنون.

---

‌@AmirHosein@.   @Dana_sotoude.
ببخشید یه سوال داشتم. اینجا اگه رقم ها محدود شده باشه مثلا ۱۹۰ تا رقم یک باشه. باز هم اثبات به همین روش هست؟ یا فرق داره؟

---

@M.SH ابتدا اینکه همهٔ این حرف‌ها در پرسش و پاسخ‌ها برای تعداد رقم متناهی است. اگر تعداد رقم‌ها نامتناهی باشد که دیگر یک عدد نیست. و اما از این بگذریم، زمانی که فردی می‌گوید برای $n$ تعداد رقم که $n$ طبیعی باشد یعنی چه؟ یعنی هر عدد طبیعی دلخواهی که بردارید، آیا ۱۹۰ یک عدد طبیعی نیست؟

---

@AmirHosein.  بله درسته. جواب‌ رو متوجه شدم.
ببخشید حواسم نبود که خودش متناهی هست.
جایی دیدم نوشته بود ۱۹۰ رقم یک، شک کردم، گفتم بپرسم مطمعن بشم.
خیلی ممنون.

---

@M.SH اشکالی ندارد. پرسیدن همیشه خوب است. موفق باشید.

Answer 4

به نام خدا.

چون عدد داده شده فرد است، پس برای اینکه مربع کامل باشد باید به شکل $4k+1$ باشد:

$111...111=4k+1 \Longrightarrow 111...110=4k \Longrightarrow 111...11 ×10 =4k \Longrightarrow 4 | 111...11×10=111...11 × 2×5$

از آن جا که $111...11$ فرد است، پس $4$ یک عامل دو بیشتر از$111...11 × 2×5$ دارد. لذا رابطه بالا غلط است و این تناقض ناشی از فرض اشتباه است.

از استقرا هم می توان کمک گرفت.

نشان می دهیم که اعداد به این شکل تنها به صورت $4m+3$ هستند. واضح است که برای $n=2$ حکم درست است. ($11=4(2)+3$). فرض می کنیم که برای $n=k$ نیز درست است. نشان می دهیم که برای $n=k+1$ نیز درست است. پس عدد $111...11$ را در نظر بگیرید که تعداد یک ها برابر با $k$ است. پس:

$111...11 =4m+3 \Longrightarrow 111...110 =40m+30 \Longrightarrow 111...111 =40m+31=4(10m+7)+3=4t+3$

پس حکم ثابت شد. از آن جایی که اعداد مربع کامل به شکل $4k+1$ یا $4k$ هستند، پس این نوع اعداد مربع کامل نمی باشند.

Comments

@Elyas1 : با درود به دوست عزیز. برای اینکه عددی بر $4$ بخشپذیر باشد، باید دورقم آخر آن بر $4$ بخشپذیر باشد. چون دورقم آخر $10$ میشود، بر $4$ بخشپذیر نیست و استدلالتان کاملاً درسته. 1+

---

@ناصر آهنگرپور  بله خیلی ممنون. از آن جا که ممکن است از افرادی که این پست را می بینند بعضی ها با همنهشتی آشنا نباشند و ندانند که چرا عددی که دو رقم آخر آن بر $4$ بخش پذیر باشد آنگاه آن عدد بر $4$ بخش پذیر است، پاسخ را این گونه نوشتم و از آن قضیه استفاده نکردم.

Answer 5

اثبات ساده‌ای دارد. ابتدا نشان می‌دهیم که مجذور هر عدد فرد، به شکل $8m+1$ است.

$$(2k+1)^2=4k^2+4k+1 ⇒ 4(k^2+k)+1$$

و دقت کنید که $k^2+k$ در واقع حاصل‌ضرب دو عدد متوالی است: $k(k+1)=k^2+k$؛ و همچنین می‌دانیم که از هر دو عدد متوالی، یکی از آن‌ها زوج است و بنابراین $k(k+1)$ بر 2 بخش‌پذیر است؛ بنابراین می‌توانیم بنویسیم: $k^2+k=2m$. در نتیجه:

$$4(k^2+k)+1=4(2m)+1=\boxed{8m+1}$$

لذا ثابت کردیم که مجذور هر عدد فرد، باید باقی‌ماندۀ تقسیمش بر ۸ برابر ۱ باشد، یا به عبارتی به پیمانۀ ۸ با عدد یک هم‌نهشت باشد. باقی‌ماندۀ تقسیم هر عدد بر ۸ برابر باقی‌ماندۀ ۳ رقم آخر است؛ پس برای اعداد از ۱۱۱ باقی‌مانده همه بر ۸ یکسان و برابر ۷ است، که نشان می‌دهد که مربع کامل نیست. برای ۱۱ هم که واضحاً مربع کامل نیست و یک عدد اول هست.