با فرض جابجایی $A$ و $B$، ثابت کنید $e^{(A+B)t}=e^{At}e^{Bt}$

Question

نشان دهید که اگر$A$و$B$ دو ماتریس ثابت $n \times n $با خاصیت $AB=BA$باشند رابطه زیر برقرار است: $e^{(A+B)t}=e^{At}e^{Bt}$.

Answer 1

از اینکه این دو ماتریس جابجا می‌شوند برای اینکه بتوانیم توان جمع‌شان را به شکل بسط نیوتن‌خیام بنویسیم استفاده می‌کنیم یعنی در تساوی سوم در محاسبهٔ زیر. $$\begin{array}{ll} e^{(A+B)t} & =\sum_{k=0}^\infty\frac{((A+B)t)^k}{k!}\\ & =\sum_{k=0}^\infty\frac{(At+Bt)^k}{k!}\\ & =\sum_{k=0}^\infty\dfrac{\sum_{i=0}^k(At)^i(Bt)^{k-i}}{k!}\\ & =\sum_{k=0}^\infty\dfrac{\sum_{i=0}^k\frac{k!}{i!(k-i)!}(At)^i(Bt)^{k-i}}{k!}\\ & =\sum_{k=0}^\infty\sum_{i=0}^k\frac{(At)^i}{i!}\frac{(Bt)^{k-i}}{(k-i)!}\\ & =(\sum_{k=0}^\infty\frac{(At)^k}{k!})(\sum_{k=0}^\infty\frac{(Bt)^k}{k!})\\ & =e^{At}e^{Bt} \end{array}$$

Answer 2

می‌دانیم جواب یکتای معادله $X'(t)=MX(t)$ با شرط اولیه $X(0)=I$ برابر $e^{tM} $ . قرار می دهیم $X(t)= e^{At} e^{Bt} $ و از طرفین نسبت به t مشتق میگیریم داریم

$X'(t)=Ae^{At} e^{Bt}+e^{At} B e^{Bt}=(A+B)e^{At} e^{Bt} ?????$ پس $X'(t)=(A+B)X(t) $ بنابراین $ e^{(A+B)t} =e^{At} e^{Bt}$.

علامت سوال رو میتونید با نوشتن بسط e و جابه جایی بودن ماتریس ها توجیه کنین که برعهده خودتون.