خیر مجموعهٔ $\mathbb{R}$ زیرمجموعهای از $\mathbb{R}^2$ نیست. چرا؟ خیلی ساده. تعریفِ زیرمجموعهبودن چه بود؟ مجموعهٔ $A$ زیرمجموعهای از مجموعهٔ $B$ است اگر و تنها اگر به ازای هر عضو $a$ای که از $A$ برمیداریم، $a$ عضوِ $B$ هم باشد. اکنون بیایید اعضای دو مجموعهٔ $\mathbb{R}$ و $\mathbb{R}^2$ را نگاه کنید. اعضای $\mathbb{R}$ به شکلِ ۱ و ۲ و ۳ و غیره هستند، هر یک، دقیقا یک عدد است. اما اعضای $\mathbb{R}^2$ چطور؟ آنها به شکل $(1,2)$ و $(-1,0)$ و غیره هستند. یعنی هر عضو آن یک زوجِ مرتب از دو عدد است! آیا «یک عدد» و «یک زوج مرتب از دو عدد» یک چیزِ یکسان هستند؟ آیا یک سیب و یک جعبه شامل دو سیب که روی این سیبها شمارهگذاری شدهاست، دو چیزِ یکسان هستند؟ روشن است که پاسخ خیر است. در اینجا نه تنها $\mathbb{R}$ زیرمجموعهٔ $\mathbb{R}^2$ نیست بلکه حتی اشتراکی هم با هم ندارند! $\mathbb{R}\cap\mathbb{R}^2=\emptyset$.
جملهای که درست است این است که $\mathbb{R}$ را میتوان در $\mathbb{R}^2$ نشاند! و این یعنی یک تابعِ یکبهیک از $\mathbb{R}$ به $\mathbb{R}^2$ وجود دارد که البته یکتا هم نیست. فردی میتواند این تابع را $f(r)=(r,0)$ بگیرد و فردی دیگر میتواند $f(r)=(r,r)$ بگیرد یا بینهایت انتخاب دیگر. نشاندهشدن با زیرمجموعهبودن هممعنا نیست! اگر $A$ در $B$ نشانده شود یعنی $B$ یک زیرمجموعه دارد که در تناظرِ یکبهیک با $A$ است، توجه کنید که این زیرمجموعه الزاما با $A$ مساوی نیست، فقط در تناظرِ دوسویی است یعنی تحدیدِ همدامنهٔ تابعی که از $A$ به $B$ تعریف کردید، به این زیرمجموعه باعثِ یکبهیک و پوشا شدنش میشود. این در حالتی است که فقط به چشمِ دو تا مجموعه به $A$ و $B$ نگاه کنید. اگر ساختار بیشتری را در نظر بگیرید، آنگاه به جای تابعِ خالی، باید همریختیِ متناظر با ساختارتان را در نظر بگیرید. برای نمونه $\mathbb{R}$ به عنوان فضای برداری در $\mathbb{R}^2$ نشانده میشود و البته به عنوان میدان این اتفاق نمیافتد که دلیلش روشن است، $\mathbb{R}^2$ اصلا میدان نیست. به راحتی میتوانید جمع و ضربی روی $\mathbb{R}^2$ و $\mathbb{R}$ بگذارید که هر دو حلقه شوند ولی $\mathbb{R}$ به عنوان حلقه در $\mathbb{R}^2$ نشانده نشود.
