$$tan^2{10} +tan^2{50} +tan^2{70}$$
به منظور حل این سوال از فرمول زیر استفاده می کنیم:
$$tan^2(x)= \frac{1-cos(2x)}{1+cos(2x)} $$
بنابراین حاصل برابر است با:
$$\frac{1-cos20}{1+cos20}+\frac{1-cos100}{1+cos100}+\frac{1-cos140}{1+cos140}$$
با کمی دقت متوجه خواهیم شد:
$$cos(3×20)=cos60=0.5$$
$$cos(3×100)=cos300=cos(300-360)=cos(-60)=cos60=0.5$$
$$cos(3×140)=cos420=cos(420-360)=cos60=0.5$$
حال می دانیم $cos(3 \alpha )=4cos^3( \alpha )-3cos( \alpha )$ در این فرمول اگر $ \alpha $ را برابر 20، 100 و 140 درجه قرار دهیم، حاصل 0.5 به ما خواهد داد. پس می توان گفت $cos20 $ و $cos100 $ و $cos140 $، ریشه های معادله درجه 3 زیر هستند:
$$4x^3-3x=0.5$$
با تبدیل معادله به فرم استاندارد داریم:
$$8x^3-6x-1=0$$
چون کسینوس 3 زاویه ای که گفته شد، ریشه های این معادله اند، پس طبق فرمول ویت می توان گفت:
$$cos20+cos100+cos140=0$$
$$cos20×cos100+cos20×cos140+cos100×cos140= \frac{-6}{8}= \frac{-3}{4} $$
$$cos20×cos100×cos140= -\frac{-1}{8}= \frac{1}{8} $$
حال اگر $cos20 $ و $cos100 $ و $cos140 $ را به ترتیب برابر $a$ و $b$ و $c$ قرار دهیم، داریم:
$$a+b+c=0$$
$$ab+ac+bc= \frac{-6}{8}= \frac{-3}{4} $$
$$abc= -\frac{-1}{8}= \frac{1}{8} $$
حال حاصل عبارت فوق را می خواهیم:
$$\frac{1-cos20}{1+cos20}+\frac{1-cos100}{1+cos100}+\frac{1-cos140}{1+cos140}=\frac{1-a}{1+a}+\frac{1-b}{1+b}+\frac{1-c}{1+c}$$
با گرفتن مخرج مشترک داریم:
$$\frac{1-a}{1+a}+\frac{1-b}{1+b}+\frac{1-c}{1+c}= \frac{(1-a)(1+b)(1+c)+(1-b)(1+a)(1+c)+(1-c)(1+a)(1+b)}{(1+a)(1+b)(1+c)}= \frac{(1-a+b+c+bc-ac-ab-abc)+(1+a-b+c-bc+ac-ab-abc)+(1+a+b-c-bc-ac+ab-abc)}{1+a+b+c+bc+ac+ab+abc} $$
$$= \frac{3+(a+b+c)-(ab+ac+bc)-3abc}{1+(a+b+c)+(bc+ac+ab)+abc} $$
$$= \frac{3+0- \frac{-3}{4}- \frac{3}{8} }{1+0-\frac{3}{4}+ \frac{1}{8}}= \frac{ \frac{27}{8} }{ \frac{3}{8} } =9 $$
