Question

حاصلِ $\tan^2(10)+\tan^2(50)+\tan^2(70)$ را بدست آورید.

خودم اومدم اول سعی کردم اون توان دو ها رو از بین ببرم اول برحسب سینوس کسینوس نوشتم بعد با اتحادش همشون به کسینوس هایی تبدیل شد ولی خیلی ناجور بودن ساده هم نمیشو و مخرج مشترک گرفتنش ام دردسر بود یه راه دیگه هم رفتم که ده رو نوشتم سی سوم یا بقیرو تقسیم بر ۳ کردم که همشونو داریم تانژانتاشو ولی یکم طولانی میشه دنبال یه راه تکنیکی و قشنگم

Comments

محمد قادری@ سوال را ویرایش کردم اما لطفا عنوان مناسب برای سوال بنویسید.

Answer 1

$$tan^2{10} +tan^2{50} +tan^2{70}$$

به منظور حل این سوال از فرمول زیر استفاده می کنیم:

$$tan^2(x)= \frac{1-cos(2x)}{1+cos(2x)} $$

بنابراین حاصل برابر است با: $$\frac{1-cos20}{1+cos20}+\frac{1-cos100}{1+cos100}+\frac{1-cos140}{1+cos140}$$ با کمی دقت متوجه خواهیم شد: $$cos(3×20)=cos60=0.5$$ $$cos(3×100)=cos300=cos(300-360)=cos(-60)=cos60=0.5$$ $$cos(3×140)=cos420=cos(420-360)=cos60=0.5$$ حال می دانیم $cos(3 \alpha )=4cos^3( \alpha )-3cos( \alpha )$ در این فرمول اگر $ \alpha $ را برابر 20، 100 و 140 درجه قرار دهیم، حاصل 0.5 به ما خواهد داد. پس می توان گفت $cos20 $ و $cos100 $ و $cos140 $، ریشه های معادله درجه 3 زیر هستند: $$4x^3-3x=0.5$$

با تبدیل معادله به فرم استاندارد داریم: $$8x^3-6x-1=0$$ چون کسینوس 3 زاویه ای که گفته شد، ریشه های این معادله اند، پس طبق فرمول ویت می توان گفت: $$cos20+cos100+cos140=0$$ $$cos20×cos100+cos20×cos140+cos100×cos140= \frac{-6}{8}= \frac{-3}{4} $$ $$cos20×cos100×cos140= -\frac{-1}{8}= \frac{1}{8} $$ حال اگر $cos20 $ و $cos100 $ و $cos140 $ را به ترتیب برابر $a$ و $b$ و $c$ قرار دهیم، داریم: $$a+b+c=0$$ $$ab+ac+bc= \frac{-6}{8}= \frac{-3}{4} $$ $$abc= -\frac{-1}{8}= \frac{1}{8} $$ حال حاصل عبارت فوق را می خواهیم: $$\frac{1-cos20}{1+cos20}+\frac{1-cos100}{1+cos100}+\frac{1-cos140}{1+cos140}=\frac{1-a}{1+a}+\frac{1-b}{1+b}+\frac{1-c}{1+c}$$ با گرفتن مخرج مشترک داریم:

$$\frac{1-a}{1+a}+\frac{1-b}{1+b}+\frac{1-c}{1+c}= \frac{(1-a)(1+b)(1+c)+(1-b)(1+a)(1+c)+(1-c)(1+a)(1+b)}{(1+a)(1+b)(1+c)}= \frac{(1-a+b+c+bc-ac-ab-abc)+(1+a-b+c-bc+ac-ab-abc)+(1+a+b-c-bc-ac+ab-abc)}{1+a+b+c+bc+ac+ab+abc} $$ $$= \frac{3+(a+b+c)-(ab+ac+bc)-3abc}{1+(a+b+c)+(bc+ac+ab)+abc} $$ $$= \frac{3+0- \frac{-3}{4}- \frac{3}{8} }{1+0-\frac{3}{4}+ \frac{1}{8}}= \frac{ \frac{27}{8} }{ \frac{3}{8} } =9 $$

Comments

@medanaee جایی که نوشتید بنا به فرمول ویت، منظورتان چه فرمولی است؟

---

@AmirHosein منظور از فرمول ویت همون قضیه در چند جمله ای ها هست که مجموع، حاصل ضرب و مجموع ضرب دو تایی ریشه ها رو برحسب ضرایب میشه از طریقِ اون محاسبه کرد.
در این لینک هم یکی از دوستان توضیحش رو گذاشتن https://math.irancircle.com/blog/254
در دبیرستان این قضیه رو تحت عنوان فرمول ویت آموزش دادن. اگه نام اصلی قضیه چیز دیگه ای هست عذر میخوام نمیدونستم.

---

@medanaee مشکلی نیست، کتاب‌های جدید آموزش و پرورش ایران را نگاه نکردم ولی زمان ما چه در دبیرستان چه در دانشگاه برای این گزاره اسم خاصی معرفی نمی‌کردند. من اگر می‌بودم می‌گفتم چون ضریب $x^2$ در این چندجمله‌ایِ درجهٔ سه صفر است پس جمع ریشه‌هایش صفر می‌شود. به هر حال ۱+