دو مثلث داریم که راس هریک در وسط قاعده مثلث دیگر قرار دارد. اثبات کنید مجموع مساحت دو مثلثی که در طرفین هستند، با مساحت مشترک بین دو مثلث برابر است.

Question

دو مثلث داریم که راس هریک در وسط قاعده مثلث دیگر قرار دارد (مطابق تصویر زیر) اثبات کنید مجموع مساحت دو مثلثی که در طرفین هستند (با آبی مشخص شده) با مساحت مشترک بین دو مثلث برابر است.

Answer 1

در ذوزنقه $TPFD$ چون $CQ$ با $2$ قاعده موازی است و $C$ وسط $DF$ است طبق قضیه تالس در ذوزنقه $Q$ وسط $TP$ است بنابراین طبق قضیه میان خط ( در هر ذوزنقه طول پاره خط واصل وسط دو ساق برابر با نصف مجموع دو قاعده است ) خواهیم داشت : $2QC=TD+PF$ فرض میکنیم $AE=BE=x$ خواهیم داشت : $S_{ABC} = \frac{2x.QC}{2} =\frac{x(TD+PF)}{2}= \frac{x.TD}{2} + \frac{x.PF}{2} =S_{ADE}+S_{BEF}$

و در آخر با حذف کردن دو مثلث مشترک در طرفین به حکم مسئله میرسیم