Question

حدود$m$را چنان بيان كنيد كه عدد$(1)$بين دو ريشه معادله $$m x^{2} -2x-1=0$$ باشد؟

Answer 1

از حل این معادله با روش $ \bigtriangleup $ داریم: $$ \bigtriangleup =4+4m=4(1+m) > 0 \ \Longrightarrow m > -1$$

چون معادله دو ریشه دارد و عدد $1$ باید بین این دو ریشه قرار بگیرد پس باید $ \bigtriangleup $ بطور اکید از $0$ بزرگتر باشد.

لذا داریم:

$$x_1= \frac{2+ \sqrt[]{{4(1+m)}} }{2m}= \frac{1+\sqrt[]{{(1+m)}} }{m} $$ $$x_2= \frac{2- \sqrt[]{{4(1+m)}} }{2m}= \frac{1- \sqrt[]{{(1+m)}} }{m} $$

$m \neq 0$ (چرا؟)

باید داشته باشیم:

$$ \frac{1- \sqrt[]{{(1+m)}} }{m} < \ 1 \ < \frac{1+\sqrt[]{{(1+m)}} }{m} $$

همچنین با یک جایگذاری ساده خواهیم دید که $ 0 > m$ نیز غیر قابل قبول است.(چرا؟)

اگر $m=3$ باشد,باز هم نامساوی حاصله قابل قبول نیست.(چرا؟)

بنابراین خواهیم داشت:

$$ 0< m < 3 $$

Comments

روش حل نامعادله آخر در بالا کلا نامعلوم و بیشتر شبیه شعبده بازی است.
لطفا نامعادله را به طور کامل حل کنید.
البته جواب آخر کاملا درست است.

---

نه اصلا شعبده بازی نیست.دوست عزیز در بسیاری از مواقع,ما میتونیم بجای حل معادلات یا نامعادلات پیچیده به جواب برسیم.
در اینجا به صورت کاملا منطقی با جایگذاری چند عدد ما میتونیم به جواب برسیم:
اگر اعداد بزرگتر یا مساوی $3$ رو قرار بدیم,شرطی که $1$ باید بین دو ریشه باشه,برقرار نخواهد شد,همچنین برای گذاشتن اعداد منفی هم همینطوره

Answer 2