ثابت کنید در مثلثی مختلف الاضلاع همواره میانه > نیمساز > ارتفاع است.

Question

مثلث ABC مفروض است و AB < AC . میانه ارتفاع و نیمساز را از ضلع A وارد بر ضلع BC رسم میکنیم. ثابت کنید میانه > نیمساز > ارتفاع است.

تلاش کردم ترتیب قرارگیری ها اجزا رو مشخص کنم اما نتونستم بگم میانه به ضلع بزرگتر نزدیک تر هست یا کوچکتر و با قضیه نیمساز اثبات کردم BE < BM اما راجب خود AM, AE, AH نظری ندارم حتی ترتیب اجزا

Comments

نامساوی که از نیمساز ها گرفتی حکم بسادگی بدست می آید چون Mدورتر از Eتا پای ارتفاع H می باشه پس HMبزرگتراز EH می باشه پس وتر مثلث های قائم الزاویه بزرگتر، بزرگتر است.

Answer 1

فرض کنید که $AB>AC$ می باشد. در شکل زیر $AM$ میانه مثلث $ABC$ می باشد. می توان نوشت: ( $\angle BAM +\angle CAM< 180$)

$S ABM = S AMC \Longrightarrow AB \times sin \angle BAM = AC \times sin \angle CAM \Longrightarrow sin \angle BAM < sin \angle CAM \Longrightarrow \angle BAM < \angle CAM$

اکنون از این نکته که $\angle BAM < \angle CAM$ استفاده می کنیم. توجه کنید که کمترین فاصله یک نقطه از یک خط پاره خط عمود بر آن خط از نقطه مورد نظر است. پس ارتفاع از میانه و نیمساز کوچکتر می باشد.

در شکل زیر $AD$ نیمساز زاویه $A$ می باشد.

توجه کنید که $\angle BAD= \angle CAD$ که این یعنی $CD< CM$.

درشکل زیر $AH$ ارتفاع می باشد. اکنون یک نکته دیگر را یاد آور می شویم. در یک مثلث زاویه روبه رو به ضلع بزرگتر بزرگتر است از زاویه روبه رو به ضلع کوچکتر. یعنی $\angle C> \angle B$.

$\angle C + \angle CAH = \angle B + \angle BAH \Longrightarrow \angle BAH > \angle CAH$

این یعنی $CH< CD$ می باشد. می توان نتیجه گرفت که:

$CH< CD< CM \Longrightarrow HD < HM \Longrightarrow HD^2 + AH^2 < HM^2 + AH^2 \Longrightarrow AD^2 < AM ^2 \Longrightarrow AD < AM$

پس نامساوی زیر برای یک مثلث مختلف اضلاع اثبات شد.

$AH < AD < AM$