هندسه-ثابت کنیداگر محیط و دو زاویه از مثلثی با محیط و دو زاویه مثلث دیگر برابر باشد آنگاه دو مثلث هم نهشتند

Question

ثابت کنیداگر محیط و دو زاویه از مثلثی با محیط و دو زاویه مثلث دیگر برابر باشد آنگاه دو مثلث هم نهشتند

Answer 1

فرض کنید دو مثلث $ABC$ و $GDE$ به گونه ای باشند که $\angle A= \angle G , \space \angle B= \angle D, \space \angle C= \angle E$ باشند. اکنون مثلث $ABC$ را در نظر بگیرید. می خواهیم مثلث $GDE$ را روی آن قرار دهیم. مثلث را به گونه ای قرار می دهیم که $G$ بر $A$ منطبق باشد. چون $\angle A= \angle G$ است پس می توان طوری قرار داد که نقاط $D,E$ به ترتیب رو پاره خط های $AB,AC$ یا امتداد آن ها قرار گیرند. حالت اول به شکل زیر است:

این حالت نامطلوب می باشد. زیرا در مثلث $FDB$ نمی تواند زاویه $FDA$ با زاویه $B$ مساوی باشند!

حالت دوم:

چون: $AB>AD , \space AC>AE , \space , BC>DE$

پس محیط این دو مثلث برابر نیست. پس این حالت هم مورد قبول نیست.

پس تنها حالتی که می ماند این است که دو مثلث بر هم منطبق شوند. البته دو حالت بررسی نشد که مانند دو حالت قبل هستند.