مشکل در بدست آوردن برد تابع $f(x) = \frac{x}{\lfloor x \rfloor - 2}$ در سایت WolframAlpha

Question

تابع جزءصحیحی زیر را در نظر بگیرید:

$$f(x) = \frac{x}{\bigg\lfloor x \bigg\rfloor - 2}$$

برای به‌دست آوردن برد آن از وب‌گاه WolframAlpha (که آنطوری که متوجه شدم، نسخۀ برخط نرم‌افزار Wolfram Mathematica می‌باشد) استفاده کردم و در همان کادر ابتدای صفحه، عبارت

range of f(x) = x/{Floor[x] - 2}

را وارد کردم و Enter را زدم و منتظر خروجی شدم. خروجی به شکل زیر بود:

$$\{f\in\mathbb{R} : -1.94883 \leq f \leq 0.846154\}$$

اما پس از بررسی متوجه شدم که این نادرست است و احتمالاً WolframAlpha برد را به‌درستی محاسبه نکرده‌است؛ زیر اگر مثلاً در تابع قرار دهید $x = 3$، آنگاه $f(x) = 3$ که جزء برد نیست. مشکل از کجاست؟ آیا واقعاً WolframAlpha در حال انجام اشتباهی است یا مشکل چیز دیگری می‌باشد؟

Comments

@A-math-lover بلی این خروجی اشتباه است و می‌توانید به توسعه‌دهنده‌های این نرم‌افزار گزارش کنید. توجه کنید که در زیر خروجی گفته‌شده‌است که
`numerically estimated range assuming a function from reals to reals`
که ترجمه‌اش می‌شود «تخمینِ عددیِ بُرد با فرض اینکه تابع از $\mathbb{R}$ به $\mathbb{R}$ باشد». پس خود Mathematica در حال اشاره به این است که الگوریتم پیاده‌شده پشتِ دستورِ `FunctionRange` یک الگوریتم symbolic نیست بلکه numeric است و امکان خطا دارد. اما فعلا چک نکرده‌ام که خود این الگوریتم چیست و در حالِ انجام چه محاسبه‌ای است.

Answer 1

نیازی به نرم افزار نیست.

$[x]-2=0 \Leftrightarrow [x]=2 \Leftrightarrow2 \preceq x \prec 3 \Rightarrow D_{f} -R \backslash [2,3)$

حالا تابع در بازه $[n,n+1)$ برای هر عدد صحیح $n>2$ خطی و صعودی است و برای هر عدد صحیح $n< 2$ خطی و نزولی برابر است با: $f(x)= \frac{x}{n-2} $ لذا

مقادیر تابع در این بازه به ترتیب حالات برابر است با بازه $[ \frac{n}{n-2} , \frac{n+1}{n-1} )$ و بازه $[ \frac{n+1}{n-1} , \frac{n}{n-2} )$.بنابراین:

$ R_{f}= \bigcup [ \frac{n+1}{n-1} , \frac{n}{n-2} ) \cup [ \frac{m}{m-2} , \frac{m+1}{m-1} )$

که اجتماع سمت چپ روی اعداد صحیح کمتر از $2$ و اجتماع سمت راست روی تمام اعداد صحیح بزرگتر $2$ است.

$ \Box $

Comments

سلام جناب شبرنگ، میشه لطفا بیشتر توضیح بدید، الان در بازه خط پنجم جواب شما اگر n=0 آنگاه بازه به صورت بازه صفر بسته در چپ  و منفی یک باز در راست خواهد بود که درست نمیشه