میدانیم که در طبق تعریف داریم :
$$\cosh x =\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}$$
بنابراین :
$$\cosh (e^ \beta )=\dfrac{e^{e^ \beta }+e^{-e^ \beta }}{2}$$
$$\ln(1+2\cosh (e^ \beta ))= \\ \ln(1+2(\dfrac{e^{e^ \beta }+e^{-e^ \beta }}{2}))= \ln(1+e^{e^ \beta }+e^{-e^ \beta })$$
داریم :
$$1+e^{e^ \beta }+e^{-e^ \beta }= \frac{e^{2e^ \beta }+e^{e^ \beta }+1}{e^{e^ \beta }} $$
در نتیجه :
$$\ln(1+e^{e^ \beta }+e^{-e^ \beta }) =\ln(\frac{e^{2e^ \beta }+e^{e^ \beta }+1}{e^{e^ \beta }})$$
از این بیشتر فکر نکنم ساده تر کرد .
