بروش استقرا ثابت کنید: 8n+1+3^{2n}- بر عدد 64 بخشپذیرست

Question

اگر f(n) بمعنی بخشپذیری عبارت $3^{2n}-8n+1$ بر عدد $64$ باشد، ثابت کنید که همواره اگر f(n) برقرار باشد f(n+1) هم برقرار است، سپس ثابت کنید که گزاره "بازای هر عدد طبیعی n، $3^{2n}-8n+1$ بر $64$ قابل قسمت است" درووغ می باشد. (اثبات به استقرا است و نه دنباله و رشته و اشتباه بودن گزاره هم اشتباه چاپی نیست نکته مسئله هست که روش حلش رو نمیدونم!)

Answer 1

دقت کنید که:

$ f(n+1)-f(n)=3^{2(n+1)}-8(n+1)+1 - 3^{2n}+8n-1 \\ =(3^2-1)(3^{2n})-8=8(9^n-1) .$

از طرف دیگر به ازای هر $n$ طبیعی $8(9^n-1)$ بر $64$ بخشپذیر است (چرا؟). در نتیجه هر گاه $f(n)$ بر 64 بخشپذیر باشد آنگاه $ f(n+1)$ بر 64 نیز بخشپذیر است زیرا مجموع دو عدد بخشپذیر بر 64 است. در واقع گام استقرا برقرار است اما نکته سوال اینجاست که پایه استقرا برقرار نمی باشد. در واقع $2= f(1)$ بر 64 بخشپذیر نمی باشد. نتیجتا حکم برقرار نیست.

Answer 2

صورت سوال را اشتباه نوشته بودید و من تصحیح کردم، (معادله همنشهتی اول صورت مسأله است). از همان روش استقرایی استفاده میکنیم و فرض میکنیم به ازای n درست باشد (معادله همنشهتی اول) سپس از آن نتیجه میگیریم و با تفریق در معادله همنشهتی دوم که حکم است (حالت n+1)، حکم را به اثبات می‌رسانیم. (پایه استقرا حالت n=1 است که بدیهی است) هدف ما یافتن x در معادله همنشهتی پایین است : (به پیمانه ۶۴) 3^{2n} - 8n - 1 \supset 0 \rightarrow 9×3^{2n} - 72n - 9 \equiv 0 9 × 3^{2n} - 8n - 9 \equiv x با تفریق معادله اول از دوم داریم : 64n \equiv x \equiv 0 و حکم اثبات می‌شود.