به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
–1 امتیاز
363 بازدید
در دبیرستان و دانشگاه توسط Soheil69 (-3 امتیاز)
ویرایش شده توسط kazomano

اگر $ a+ib$ ریشه مختلط معادله $x^3+2x+1=0$ باشد آنگاه $a$ ریشه کدام معادله است؟

  1. $8x^3-4x+1=0 $
  2. $x^3-4x+1=0$
  3. $x^3+4x-1=0$
  4. $8x^3+4x-1=0$

تلاش خودم

باید ریشه معادله رو فک کنم داخلش جایگزین کنی و دلتا باید کوچکتر از صفر باید باش چون ریشه موهومی داره و ضرب و جمع سه ریشه پیدا شه

مرجع: سوالات کنکور

1 پاسخ

0 امتیاز
توسط

مقدار $a+ib$ را در معادله جایگذاری میکنیم:

$(a+ib)^3+2(a+ib)+1=0 \implies a^3+3a^2ib-3ab^2-ib^3+2a+2ib+1=0 \ \implies (a^3-3ab^2+2a+1)+i(3a^2b-b^3+2b)=0 \ \implies a^3-3ab^2+2a+1=0 \ (1), \ \implies 3a^2b-b^3+2b=0$

اما چون $a+ib $ ریشه مختلتط است $b$ ناصفر است و در نتیجه:

$ 3a^2b-b^3+2b=0 \implies 3a^2-b^2+2=0 \implies b^2=3a^2+2$

با جایگذاری در معادله $(1)$ داریم:

$a^3-3ab^2+2a+1=a^3-3a(3a^2+2)+2a+1=-8a^3-4a+1=0 \ \implies 8a^3+4a-1=0.$


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...