حل معادله درجه سوم مرتبط با اعداد مختلط جمع و ضرب ریشه ها

Question

اگر $ a+ib$ ریشه مختلط معادله $x^3+2x+1=0$ باشد آنگاه $a$ ریشه کدام معادله است؟

1. $8x^3-4x+1=0 $
2. $x^3-4x+1=0$
3. $x^3+4x-1=0$
4. $8x^3+4x-1=0$

تلاش خودم

باید ریشه معادله رو فک کنم داخلش جایگزین کنی و دلتا باید کوچکتر از صفر باید باش چون ریشه موهومی داره و ضرب و جمع سه ریشه پیدا شه

Answer 1

مقدار $a+ib$ را در معادله جایگذاری میکنیم:

$(a+ib)^3+2(a+ib)+1=0 \implies a^3+3a^2ib-3ab^2-ib^3+2a+2ib+1=0 \ \implies (a^3-3ab^2+2a+1)+i(3a^2b-b^3+2b)=0 \ \implies a^3-3ab^2+2a+1=0 \ (1), \ \implies 3a^2b-b^3+2b=0$

اما چون $a+ib $ ریشه مختلتط است $b$ ناصفر است و در نتیجه:

$ 3a^2b-b^3+2b=0 \implies 3a^2-b^2+2=0 \implies b^2=3a^2+2$

با جایگذاری در معادله $(1)$ داریم:

$a^3-3ab^2+2a+1=a^3-3a(3a^2+2)+2a+1=-8a^3-4a+1=0 \ \implies 8a^3+4a-1=0.$