قضیۀ بازگشت روی $N$:
فرض کنید $A$ یک مجموعه دلخواه و $a \in A$ و $f:A \longrightarrow A$ یک تابع دلخواه باشد.در این صورت یک تابع منحصر به فرد $h:N \longrightarrow A$ موجود است که:
$$h(0)=a, \forall n \in N:h(n^+)=(foh)(n)=f(h(n))$$
توجه شود که در اینجا $^+$ عملگر تالی است یعنی برای هر مجموعه $x$ داریم:
$x^+=x\cup ${$x$}
[توجه شود که مجموعه‌ای مانند $X$ را استقرایی گویند هر گاه:
$$ \emptyset \in X, \forall x \in X:x^+ \in X$$
در حین تکمیل نظریۀ مجموعه‌ها خیلی‌ها حتی کانتور هم وجود این نوع مجموعه‌ها را بدیهی می‌دانستند.اما بعدها وجود این مجموعه‌ها به عنوان اصل پذیرفته شد.( این اصل زیبا که زیباتر از معماریهای فلورانس است معادل است با اینکه مجموعه های نامتناهی وجود دارند. البته باید به تعریف نامتناهی در نظریۀ مجموعه‌ها توجه شود. مجموعه‌ای را نامتناهی گویند که متناهی نباشد و مجموعه‌ای را متناهی گویند که با یک عدد طبیعی ( اعداد طبیعی مجموعه‌اند!) کاردینالته یکسان داشته باشد. حالا که وجود یکی تضمین شد اشتراک تمام مجموعه‌های استقرایی ( که وجود دارد ) را مجموعه اعداد طبیعی و هر عضو آن را عدد طبیعی می‌نامند. قطره‌ای از نبوغ جان فون نویمان این است:
$$0:= \emptyset,1:= \emptyset ^+,2:=1^+,...$$
و هر عددی طبیعی یا صفر است یا تالی یک عدد طبیعی دیگر.]
حالا در قضیه بازگشت قرار دهید $A:=N$ و برای هر $m \in N$ دلخواه $a:=m$ و $h:=^+$.پس یک تابع منحصر به فرد مانند $h_m:N \longrightarrow N$ موجود است که:
$h_m(0)=m, \forall n \in N:h_m(n^+)=(^+oh_m)(n)=^+(h_m(n))=(h_m(n))^+$
حالا به کمک این همه تابع زیبا می توان جمع را تعریف کرد:
$$ \forall n,m \in N: m+n:=h_m(n)$$
در آخر جهت تکمیل بحث باید بگوییم که سه تایی $(X,S,e)$ را یک دستگاه پئانو گویند هرگاه $X$ یک مجموعه و $e \in X$ و $S:X \longrightarrow X$ یک تابع یک بیک باشد که:
$$1) e \in X-S(X)$$
$$2) if:Y \subseteq X,e \in Y,S(Y) \subseteq Y \Rightarrow Y=X$$
و مجموعۀ $A$ را متعدی گویند هرگاه:
$$ \forall x,a (x \in a,a \in A \Rightarrow x \in A)$$
برای هر مجموعۀ متعدی $A$ خواص زیر هم ارزند:
$$ \cup A \subseteq A,(a \in A \Rightarrow a \subseteq A),A \subseteq P(A)$$
به کمک این خواص اخیر به سادگی نشان داده می‌شود که هر عدد طبیعی و خود اعداد طبیعی متعدی اند و $(N,^+,0)$ یک دستگاه پئانو است. (تمام دستگاههای پئانو دو بدو یکی‌اند!) حالا اگر خوب دقت شود خاصیت دوم دستگاه پئانو برای $N$ همان استقراء ریاضی است که به این ظرافت از آثار بزرگانی مثل ددکیند توسط پئانو معماری شده است.
حالا شما می توانید به کمک استقراء با کمی کوشش خاصیت جابجایی و شرکت پذیری و خیلی خواص دیگر جمع اعداد طبیعی را ثابت کنید.
سورپرایز:
$$n+1=n^+$$
$ \Box $
