به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
–1 امتیاز
259 بازدید
در دبیرستان توسط mansour (-22 امتیاز)

احتمال اینکه در پرتاب تصادفی n تاس سالم ، تعداد فردی شش بیاید چیست؟ توصیه شده برای محاسبه مجموع، عبارت $ \frac{۱}{۲}[(x+y)^n-(x-y)^n]$ در نظر گرفته شود.

1 پاسخ

0 امتیاز
توسط mahdiahmadileedari (3,060 امتیاز)
ویرایش شده توسط mahdiahmadileedari

برای حل این سوال، از توزیع دو جمله‌ای استفاده می‌کنیم. فرض کنید$ p $احتمال آمدن تعداد فرد شش در هر تاس باشد. پس احتمال آن برابر است با:

$P(تعداد شش فردی = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^(n-k)$

با توجه به اینکه فقط تعداد فردی شش مورد نظر است، $k $باید یک عدد فرد باشد. بنابراین، باید احتمال آمدن یک عدد فرد شش در هر تاس را به دست آوریم و سپس آن را با فرض اینکه در $n$ تاس، تعداد شش فردی برابر با$ k $است، ضرب کنیم.

احتمال آمدن تعداد عدد فرد شش در هر تاس برابر است با: $p(تعداد فرد شش) = P(1) + P(3) + P(5) = 1/6 + 1/6 + 1/6 = 1/2$

بنابراین، احتمال بیاید تعداد فردی شش در n تاس برابر با $$1/2^(n-1)$$ است. به عبارت دیگر:

$P(تعداد فردی شش = k) = \binom{n}{k} (1/2)^(n-1)$

حال برای پیدا کردن احتمال اینکه در n تاس، تعداد فردی شش بیاید، باید این احتمال را برای$ k=1, 3, 5 $جمع کنیم:

$P(تعداد فردی شش بیاید) = P(1) + P(3) + P(5) = \binom{n}{1} (1/2)^(n-1) + \binom{n}{3} (1/2)^(n-1) + \binom{n}{5} (1/2)^(n-1) = (n/2^(n-1)) * (1/2 + 3/8 + 5/32)$

با حل این عبارت، به جواب نهایی می‌رسیم. به عنوان مثال، برای n=10 داریم:

$P(lتعداد فردی شش بیاید) = (10/2^9) * (1/2 + 3/8 + 5/32) = 0.2055$

بنابراین، احتمال بیاید در$ 10 $تاس، تعداد فردی شش بیاید، حدود$ 0.2055$ است. نشانه / خط کسری است


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...