حاصل عدد $0.\overline{9}$، یک مطلق است یا یک حدی؟

Question

با توجه به لینک‌های زیر:

• https://math.irancircle.com/blog/373
• https://math.irancircle.com/19720
• https://math.irancircle.com/2798

می‌دانم که $0.\overline{9}$ برابر با یک است. اما ابهام و پرسشی که برای من به‌وجود آمده، این است که آیا این یک، دقیقاً یک مطلق است؟ یا یک حدی؟ در واقع از آنجایی که یک مطلق تقسیم بر سه مطلق برابر با $0.\overline{3}$ می‌شود ($\frac{1}{3} = 0.\overline{3}$). پس با ضرب طرفین این تساوی در 3، نتیجه می‌شود که $0.\overline{9}$ دقیقاً خودِ یک مطلق است و در واقع فقط شکل دیگری از عدد یک است. اما از طرفی و باتوجه به حد زیر:

$$0.\overline9=\lim_{n \to \infty} 0.99.....9 = \lim_{n \to \infty} \sum\limits_{k=1}^n \frac{9}{10^k}=\lim_{n \to \infty} 1-\frac{1}{10^n}=1-\lim_{n \to \infty} \frac{1}{10^n}=1$$

که یکی از پاسخ‌های موجود در همان لینک سوم است، حاصل این عبارت برابر با 1 حدی است، چون حاصل یک حد هیچ‌وقت مطلق نیست و در واقع فقط و فقط به عدد یک نزدیک‌تر و نزدیک‌تر (بی‌نهایت نزدیک) می‌شود ولی هیچ‌وقت دقیقاً خود یک نمی‌شود.

پس در واقع نوعی تناقض به‌وجود آمده‌است. مشکل از کجاست؟

Answer 1

این یک مقدار حدی است. با توجه به اینکه $$0.99999...=0.9+0.09+...$$ است مجموع جملات دنباله هندسی با جمله اول $0.9$ با قدر نسبت $0.1$ است که طبق فرمول حد مجموع جملات هندسی برابر $$ \frac{a}{1-r} = \frac{0.9}{1-0.1}=1 $$ است

Answer 2

به نظر من $1$ حدی اصطلاحی خارج از دنیای ریاضیات است (خود درآوردیست).

وقتی ما می نویسیم $0. \overline{9} =1$ در واقع جمله ( حد دنبالۀ $a_n= \sum _{k=1}^n \frac{9}{10^k} $ برابر است با $1$) را به زبان ریاضیات ترجمه کرده و می نویسیم.

در تصور ریاضی آموزان زیرک و در بهشت جاودان ریاضیات (هیچ کس نمی تواند ما را از بهشتی که کانتور برایمان آفریده است بیرون کند.هیلبرت در مورد کانتور) این تساوی امکان پذیر است اما در دنیای واقعی می توان گفت نه.

شما فرض کنید که یک مربع یک در یک بزرگ دارید که هر ضلع آن به ده واحد برابر تقسیم شده و هر یک از این مربعهای کوچک باز هم اضلاعشان هر کدام به ده واحد برابر تقسیم شده اند و الی غیر... حالا شما میخواهید این مربع را به پیشنهاد من رنگ کنید:

اول نود و نه تا بزرگ را رنگ کنید بجز گوشه شمال شرقی ($ \frac{99}{100} = \frac{9}{10} + \frac{9}{10^2} $ ).بعد در گوشه شمال شرقی از هزارتا $999$ تا را رنگ بزن بجز گوشه شمال شرقی ($ \frac{999}{10^3} = \frac{9}{10}+ \frac{9}{10^2} + \frac{9}{10^3} $) و به همین ترتیب الی غیر...

متوجه می شویم که اگر ناظری از دور نگاه کند مربع بعد از چند مرحله رنگ شده به نظر میاد اما در دنیای واقعی هیچ زمانی رنگ آمیزی این مربع به اتمام نمیرسد حتا اگر نقاش همانند زئوس نامیرا (جاودان) باشد.

توجه کنید که این استدلال من به دنیای قدیم و اگر اشتباه نکنم به دوران زنون برمیگردد.

امیدوارم تا اندازه ای به ابهام سوال روشنی بخشیده باشم.

$ \Box $