به نام خدا
میدانیم که اگر تابعی پیوسته نباشد، امکان وجود مشتقات سویی در همه جهات وجود دارد؛ ولی مگر نه اینکه مشتق در جهت بردار یکهای مانند $ \vec{u}$ به معنی شیب خط مماس بر منحنیای که فصل مشترک صفحه شامل بردار $ \vec{u} $ و رویه ما است؟
خب وقتی برای مثال یه ناپیوستگی رفع شدنی داشتیم، چطور در آن نقطه به آن فصل مشترک یک خط مماس میکنیم؟؟؟
برای مثال تابع f را به شرح ذیل در مبدا در نظر بگیرید:
$ f(x,y)=\begin{cases} \frac{x^{3}y}{ x^{6}+ y^{2} } & (x,y) ≠ (0,0)
&&\\ 0 & (x,y)=(0,0) \end{cases} $
میدانیم که این تابع در مبدا حتی پیوسته نیز نیست؛ چه بماند به اینکه مشتق پذیر باشد؛ ولی مشتقات جهتی آن در همه جهات موجود و برابر با صفر میباشد.
حال سوال این است که با وجود این ناپیوستگی چگونه خط مماسی بر فضل مشترک صفحه شامل بردار نمایش دهندهی جهت $u$ و گذرنده از نقطهی $(0,0)$ و رویه که منحنی ای ناپیوسته در $(0,0)$ است رسم میکنیم؟
به علاوه ممنون میشوم اگر تعبیر هندسیای برای این مثال خاص ارائه دهید.
