وجود مشتقات سویی در همه جهات با وجود عدم دیفرانسلپذیری تابع

Question

به نام خدا

میدانیم که اگر تابعی پیوسته نباشد، امکان وجود مشتقات سویی در همه جهات وجود دارد؛ ولی مگر نه اینکه مشتق در جهت بردار یکه‌ای مانند $\vec{u}$ به معنی شیب خط مماس بر منحنی‌ای که فصل مشترک صفحه شامل بردار $\vec{u}$ و رویه ما است؟ خب وقتی برای مثال یه ناپیوستگی رفع شدنی داشتیم، چطور در آن نقطه به آن فصل مشترک یک خط مماس میکنیم؟؟؟

برای مثال تابع f را به شرح ذیل در مبدا در نظر بگیرید: $f(x,y)=\begin{cases} \frac{x^{3}y}{ x^{6}+ y^{2} } & (x,y) ≠ (0,0) &&\ 0 & (x,y)=(0,0) \end{cases}$

می‌دانیم که این تابع در مبدا حتی پیوسته نیز نیست؛ چه بماند به اینکه مشتق پذیر باشد؛ ولی مشتقات جهتی آن در همه جهات موجود و برابر با صفر می‌باشد. حال سوال این است که با وجود این ناپیوستگی چگونه خط مماسی بر فضل مشترک صفحه شامل بردار نمایش دهنده‌ی جهت $u$ و گذرنده از نقطه‌ی $(0,0)$ و رویه که منحنی ای ناپیوسته در $(0,0)$ است رسم میکنیم؟

به علاوه ممنون می‌شوم اگر تعبیر هندسی‌ای برای این مثال خاص ارائه دهید.