اثبات شما نادرست است چون $\forall x\in [0,1]\;\colon\; f(x)\neq 0$ که $\forall x\in [0,1]\;\colon\; f(x)< 0\vee f(x)>0$ هم میتوانید بنویسید، به این معنی نیست که برای همهٔ $x$ها مقدار فقط منفی، یا برای همهٔ $x$ها مقدارها فقط مثبت باشد! بلکه این حق را دارید که برای برخی $x$ها منفی و برای برخی هم مثبت باشد، تنها چیزی که این نوشتهٔ بالا میگوید این است که صفر اتخاذ نشود. مثال تابع $f(x)=\frac{1}{x-\frac{1}{2}}$ بر روی بازهٔ $[0,1]$ صفر نمیشود ولی هر دو مقدار منفی و مثبت را میتواند داشته باشد. در واقع اینطور بخوانید «به ازای هر $x$ که از $[0,1]$ برداریم، $f(x)$ مثبت باشد یا $f(x)$ منفی باشد.» یعنی وقتی یک $x$ برداشتید و ثابت گرفتید مقدار تابع در آن منفی یا مثبت باشد. اما چیزی که شما برداشت کردید و دو حالت نوشتید با نمادها اینطوری نوشته میشود؛
$$\big(\forall x\in [0,1]\;\colon\;f(x)>0\big)\vee\big(\forall x\in [0,1]\;\colon\;f(x)< 0\big)$$
توجه کنید که همینطوری نمیتوانید یا را از داخل گزارهٔ سوردار بیرون بکشید. یا به عبارتی دیگر قانون پخشپذیری (توزیعپذیری) سور نسبت به و و یا ندارم. مقایسه کنید با $a\wedge(b\vee c)=(a\wedge b)\vee(a\wedge c)$.
بعلاوه در اثبات شما فرض پیوستگی در کجا به کار رفته؟ اگر اثباتتان درست میبود، پس شرط پیوستگی قابل حذف میبود که خب یک مثال نقضش تابعی است که در چند خط پیش اشاره کردیم که ناپیوسته است و بر روی بازهٔ $[0,1]$ علامتهای متفاوت میگیرد ولی هیچ ریشهای ندارد.
به روشهای زیادی میتوانید این قضیه را ثابت کنید که چند نمونه از آنها در کتابهای حساب و دیفرانسیل و انتگرال، حسابان یا آنالیز ریاضی یا عددی میتوانید ببینید. به این قضیه، قضیهٔ مقدار میانی Intermediate value theorem گفته میشود.