ثابت کنید که اگر تابع $f$ روی بازهٔ $[0, 1]$ پیوسته و علامت های متفاوت داشته باشد آنگاه $x$ در بازهٔ $[0, 1]$ موجود است که $f(x) = 0$

Question

اگر تابع $f$ روی بازهٔ $[0, 1]$ پیوسته باشد و $f(0) < 0$ و $f(1) > 0$، آنگاه نقطه‌ای مانند $x$ در بازهٔ $[0, 1]$ موجود است به‌طوری که $f(x) = 0$.

برای اثبات، ابتدا حکم قضیه را به‌زبان ریاضی می‌نویسیم:

$$\exists x\in[0, 1]; \big(f(x) = 0\big)$$

فرض می‌کنیم که حکم نادرست باشد؛ پس:

$$\forall x\in[0, 1]; \big(f(x)\neq0\big)$$

یعنی فرض می‌کنیم که به‌ازای هر $x$ در بازهٔ $[0, 1]$، $f(x)$ صفر نباشد؛ پس $f(x)$ یا کوچک‌تر از صفر است یا بزرگ‌تر از صفر؛ بنابراین می‌نویسیم:

$$\forall x\in[0, 1]; \big(f(x) < 0\underline{\lor} f(x) > 0\big)$$

• در حالت اول، فرض کنید که به‌ازای هر $x$ در بازهٔ $[0, 1]$، $f(x)$ کوچک‌تر از صفر باشد؛ پس $f(1)$ هم کوچک‌تر از صفر است که تناقض می‌باشد$\large※$؛ چون طبق فرض، $f(1)$ بزرگ‌تر از صفر است.

• در حالت دوم، فرض کنید که به‌ازای هر $x$ در بازهٔ $[0, 1]$، $f(x)$ بزرگ‌تر از صفر باشد؛ پس $f(0)$ هم بزرگ‌تر از صفر است که تناقض می‌باشد$\large※$؛ چون طبق فرض، $f(0)$ کوچک‌تر از صفر است.

در هر دو حالت به تناقض رسیدیم؛ پس فرض خلف نادرست می‌باشد و حکم ثابت شد. اکنون پرسشم این است که آیا اثباتم درست است؟ و همچنین آیا به‌جز برهان خلف، راه‌حل دیگری هم وجود دارد؟

Answer 1

اثبات شما نادرست است چون $\forall x\in [0,1]\;\colon\; f(x)\neq 0$ که $\forall x\in [0,1]\;\colon\; f(x)< 0\vee f(x)>0$ هم می‌توانید بنویسید، به این معنی نیست که برای همهٔ $x$ها مقدار فقط منفی، یا برای همهٔ $x$ها مقدارها فقط مثبت باشد! بلکه این حق را دارید که برای برخی $x$ها منفی و برای برخی هم مثبت باشد، تنها چیزی که این نوشتهٔ بالا می‌گوید این است که صفر اتخاذ نشود. مثال تابع $f(x)=\frac{1}{x-\frac{1}{2}}$ بر روی بازهٔ $[0,1]$ صفر نمی‌شود ولی هر دو مقدار منفی و مثبت را می‌تواند داشته باشد. در واقع اینطور بخوانید «به ازای هر $x$ که از $[0,1]$ برداریم، $f(x)$ مثبت باشد یا $f(x)$ منفی باشد.» یعنی وقتی یک $x$ برداشتید و ثابت گرفتید مقدار تابع در آن منفی یا مثبت باشد. اما چیزی که شما برداشت کردید و دو حالت نوشتید با نمادها اینطوری نوشته می‌شود؛

$$\big(\forall x\in [0,1]\;\colon\;f(x)>0\big)\vee\big(\forall x\in [0,1]\;\colon\;f(x)< 0\big)$$

توجه کنید که همینطوری نمی‌توانید یا را از داخل گزارهٔ سوردار بیرون بکشید. یا به عبارتی دیگر قانون پخش‌پذیری (توزیع‌پذیری) سور نسبت به و و یا ندارم. مقایسه کنید با $a\wedge(b\vee c)=(a\wedge b)\vee(a\wedge c)$.

بعلاوه در اثبات شما فرض پیوستگی در کجا به کار رفته؟ اگر اثبات‌تان درست می‌بود، پس شرط پیوستگی قابل حذف می‌بود که خب یک مثال نقضش تابعی است که در چند خط پیش اشاره کردیم که ناپیوسته است و بر روی بازهٔ $[0,1]$ علامت‌های متفاوت می‌گیرد ولی هیچ ریشه‌ای ندارد.

به روش‌های زیادی می‌توانید این قضیه را ثابت کنید که چند نمونه از آنها در کتاب‌های حساب و دیفرانسیل و انتگرال، حسابان یا آنالیز ریاضی یا عددی می‌توانید ببینید. به این قضیه، قضیهٔ مقدار میانی Intermediate value theorem گفته می‌شود.