$ \lim_{x\to -1^+} ([x]+1)Sin \frac{1}{x} =0 \times Sin(-1)=0=f(-1)$
$ \lim_{x\to 0^+} ([x]+1)=1 \neq 0$
اما حد تابع $Sin \frac{1}{x} $ در $0$ موجود نیست (دنباله های $a_n=(2k \pi )^{-1}\wedge k \in Z $ و $(b_n=((2k +\frac{1}{2}) \pi )^{-1}$ را در نظر بگیرید).بنابراین حد راست کل تابع در $0$ موجود نیست.
$ \lim_{x\to 0^-} ([x]+1)=0$
و چون $ | Sin \frac{1}{x} | \leq 1$ کراندار است پس حد چپ کل تابع در $0$ برابر است با $0=f(0)$.
$ \lim_{x\to 1^-} ([x]+1)Sin \frac{1}{x}=1 \times Sin1=Sin1 \neq 2Sin1=f(1)$
$if -1< a< 0 \Rightarrow \lim_{x\to a} ([x]+1)Sin \frac{1}{x} =0 \times Sin \frac{1}{a} =0=f(a)$
$if 0< a< 1 \Rightarrow \ \lim_{x\to a} ([x]+1)Sin \frac{1}{x} =1 \times Sin \frac{1}{a}=f(a)$
بنابر این تابع در $-1$ پیوستگی راست دارد.در $0$ پیوسته راست نیست اما پیوسته چپ است (ناپیوستگی رفع شدنی نیست ).در $1$پیوسته چپ نیست (حد چپ موجود اما با مقدار تابع برابر نیست).و تابع در نقاط غیر صحیح بازه پیوسته است.
$ \Box $
