سلام.قبل از هر چیز اینکه در توضیحاتتان اشاره فرمودید که ((در حالیکه وقتی بنابه فرض سوال، تابع در صفر مشتق ندارد پس f′(0) نمی تواند مقداری مانند A باشد. اصلاً f′ در صفر میتونه حد داشته باشه؟)) استدلالی منطقی نیست. زیرا سوال اصلن اشاره نکرده که مشتق تابع در صفر چه وضعیتی دارد.
حل:
تابع $f(x)=x|x|$ مثالی نقض برای رد گزینۀ $1$ و $4$ است زیرا $ f' (x)=2|x|$ و $ \lim_{x\to 0} f' (x)=0$.
همچنین تابع $ f(x) =\begin{cases}x^2Sin( \frac{1}{x} ) & x \neq 0\\0 & x=0\end{cases} $ مثالی نقض برای رد گزینه $3$ است.زیرا:
$ f' (0)= \lim_{x\to 0} \frac{x^2Sin( \frac{1}{x})}{x-0}= \lim_{x\to 0} xSin( \frac{1}{x})=0$
پس تابع مشتق را به صورت زیر داریم:
$ f'(x) =\begin{cases}2xSin( \frac{1}{x} )-Cos( \frac{1}{x} ) & x \neq 0\\0 & x = 0\end{cases} $
به راحتی می توان نتیجه گرفت که چون حد تابع $g(x)=Cos( \frac{1}{x} )$ در صفر موجود نیست پس حد تابع مشتق در صفر موجود نیست.
برای اثبات گزینه $2$:
$ \lim_{x\to 0} f'(x)=A\Rightarrow \forall \varepsilon >0 \exists \delta >0 \forall x (0<|x|< \delta \Longrightarrow | f' (x) -A|< \varepsilon $
حالا بنابه قضیه مقدار میانگین:
$ \exists y_x:0<|y_x|<|x|< \delta \wedge \frac{f(x)-f(0)}{x} = f' (y_x) \Rightarrow |\frac{f(x)-f(0)}{x}-A|=| f' (y_x)-A|< \varepsilon $
$ \Rightarrow f'(0)=A$
$ \Box $
