وقتی که از همریختی ترتیبی صحبت می شود قبل از هر چیز باید مجموعه ما خوش ترتیب باشدیعنی ترتیب ما کلی (خطی) و هر زیرمجموعۀ غیرتهی از مجموعه ما دارای کوچکترین عضو باشد.
در این سؤال مشخص نیست که ترتیبها چیست.من فرض می کنم که:
$N=[0<1<2<3<...] , Z=[0<'1<'-1<'2<'-2<'3<'-3<'...]$
(توجه شود که اگر ترتیب معمولی برای $Z$ در نظر بگیریم $Z=[...<'-2<'-1<'0<'1<'2<'...]$ خوشترتیب نیست.)
([] را برای نماد مجموعه بکار میبرم.)
حالا تابع زیر را در نظر بگیرید:
$ \phi :N \longrightarrow Z \wedge \forall x \in N: \phi (2x)=-x \wedge \phi (2x+1)=x+1$
این تابع خوشتعریف، یک بیک، پوشا و اکیدن صعودیست یعنی با ترتیب های فوق دو مجموعه همریخت ترتیبی اند.لذا:
$OrdN=OrdZ$
حالا اگر $Z$ را به صورت $Z=[0<'1<'2<'3<'...<'-1<'-2<'-3<'...]$ مرتب کنیم خوشترتیب است (؟) و $N$ با قطعه ای سره از $Z$ همریخت است.تابع زیر را در نظر بگیرید:
$ \varphi :N \longrightarrow Z \wedge \forall x \in N: \varphi (x)=x$
واضح است که $N$ با $S(-1)=[a \in Z | a<'-1]$ که قطعه ای سره از $Z$ است همریخت است.لذا:
$Ord N=OrdS(-1)<''ordZ$
$<''$ ترتیب روی اوردینالهاست.
$ \Box $
