ثابت کنید که در نقطۀ برخورد نمودار یک تابع و وارونش، $x$ با $y$ برابر است.

Question

تابع $f(x)$ و وارونش یعنی $f^{-1}(x)$ را در نظر بگیرید. اگر این دو تابع $f(x)$ و $f^{-1}(x)$، در نقطه‌ای مانند $A$ یکدیگر را قطع کنند، در این‌صورت ثابت کنید که در نقطۀ $A$، داریم: $f(x)=x$. یعنی در نقطۀ برخورد نمودار دو تابع، $x$ با $y$ برابر است.

خودم ایده‌ای برای اثباتش دارم اما در بیان دقیقِ ریاضیاتیش و اثبات کاملش مشکل دارم. از اونجایی که می‌دونیم که یک تابع و وارونش نسبت به خط $y=x$ قرینۀ یکدیگرند، فکر می‌کنم که باید نقطۀ برخورد روی خط $y=x$ باشد (همین موضوع رو نمی‌تونم به‌صورت دقیق و ریاضیاتی ثابت کنم که چرا لزوماً باید اینطور باشه)، پس بنابراین چون نقطۀ برخورد روی این خط قرار داره، پس در این نقطه $x$ با $y$ برابر است یا به عبارت بهتر: $f(x)=x$.

Answer 1

این گزاره همیشه درست نیست.

تابع $y=2-x$ را در نظر بگیرید.این تابع وارونپذیر است و وارونش با خودش برابر است لذا تابع با وارونش در تعدادی ناشمارا عضو مشترک اند که روی خط $y=x$ قرار ندارند.

$ \Box $

من به این سوال در پست

$ https://math.irancircle.com/27924/%D8%A8%D8%B1%D8%A7%DB%8C-%DA%A9%D8%AF%D8%A7%D9%85-%D8%AA%D8%A7%D8%A8%D8%B9-%D9%86%D9%82%D8%A7%D8%B7-%D8%A8%D8%B1%D8%AE%D9%88%D8%B1%D8%AF-%D8%AA%D8%A7%D8%A8%D8%B9-%D9%88%D8%A7%D8%B1%D9%88%D9%86%D8%B4-%D9%87%D9%85%D9%88%D8%A7%D8%B1%D9%87-%D8%B1%D9%88%DB%8C-%D9%82%D8%B1%D8%A7%D8%B1-%D8%AF%D8%A7%D8%B1%D8%AF%D8%9F?show=27924#q27924$

به صورت کامل جواب داده ام.