به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
پرسش سوال

ثابت کنید که در نقطۀ برخورد نمودار یک تابع و وارونش، $x$ با $y$ برابر است.

0 امتیاز
343 بازدید
در دبیرستان و دانشگاه توسط gdakphdakpdhkhddk (1 امتیاز)

تابع $f(x)$ و وارونش یعنی $f^{-1}(x)$ را در نظر بگیرید. اگر این دو تابع $f(x)$ و $f^{-1}(x)$، در نقطه‌ای مانند $A$ یکدیگر را قطع کنند، در این‌صورت ثابت کنید که در نقطۀ $A$، داریم: $f(x)=x$. یعنی در نقطۀ برخورد نمودار دو تابع، $x$ با $y$ برابر است.

خودم ایده‌ای برای اثباتش دارم اما در بیان دقیقِ ریاضیاتیش و اثبات کاملش مشکل دارم. از اونجایی که می‌دونیم که یک تابع و وارونش نسبت به خط $y=x$ قرینۀ یکدیگرند، فکر می‌کنم که باید نقطۀ برخورد روی خط $y=x$ باشد (همین موضوع رو نمی‌تونم به‌صورت دقیق و ریاضیاتی ثابت کنم که چرا لزوماً باید اینطور باشه)، پس بنابراین چون نقطۀ برخورد روی این خط قرار داره، پس در این نقطه $x$ با $y$ برابر است یا به عبارت بهتر: $f(x)=x$.

1 پاسخ

0 امتیاز
توسط قاسم شبرنگ (4,161 امتیاز)

این گزاره همیشه درست نیست.

تابع $y=2-x$ را در نظر بگیرید.این تابع وارونپذیر است و وارونش با خودش برابر است لذا تابع با وارونش در تعدادی ناشمارا عضو مشترک اند که روی خط $y=x$ قرار ندارند.

$ \Box $

من به این سوال در پست

$ https://math.irancircle.com/27924/%D8%A8%D8%B1%D8%A7%DB%8C-%DA%A9%D8%AF%D8%A7%D9%85-%D8%AA%D8%A7%D8%A8%D8%B9-%D9%86%D9%82%D8%A7%D8%B7-%D8%A8%D8%B1%D8%AE%D9%88%D8%B1%D8%AF-%D8%AA%D8%A7%D8%A8%D8%B9-%D9%88%D8%A7%D8%B1%D9%88%D9%86%D8%B4-%D9%87%D9%85%D9%88%D8%A7%D8%B1%D9%87-%D8%B1%D9%88%DB%8C-%D9%82%D8%B1%D8%A7%D8%B1-%D8%AF%D8%A7%D8%B1%D8%AF%D8%9F?show=27924#q27924$

به صورت کامل جواب داده ام.

چگونه می توانم به محفل ریاضی کمک کنم؟

کانال تلگرام محفل ریاضی

سوالات مشابه

“ ریاضیدان، کسی است که شباهت ها را بین قضایا دریابد. ریاضیدان بهتر کسی است که بتواند شباهت بین برهان ها را ببیند. بهترین ریاضیدان کسی است که بتواند به شباهت بین نظریه ها توجه کند. و می توان تصور کرد که ریاضیدان نهایی کسی است که بتواند شباهت بین شباهت ها را مشاهده کند.
...