کمترین فاصله نقطه فرضی از رئوس چهارضلعی

Question

چهار خانه روی راس های چهارضلعی ای محدب قرار دارند. چاه آب را کجا بزنیم تا مجموع فاصله خانه ها تا چاه آب کمترین مقدار ممکن باشد؟

Answer 1

چهار خانه را رأسهای چهار ضلعی و چاه آب را نقطه ای داخل چهار ضلعی بگیرید.

چهار ضلعی محدب $ABCD$ را در نظر بگیرید و فرض کنید که $O$ نقطه برخور اقطار آن و $X$ نقطه ای داخواه در داخل چهار ضلعی باشد.حالا نقطه $X$ یا در مثلث $OAB$ قرار میگیرد یا در مثلث $OBC$ یا در مثلث $OCD$ و یا در مثلث $ODA$.فرض کنید در مثلث $OAB$ قرار گیرید.بنابراین:

$AO+BO+CO+DO=(AO+OC)+(BO+OD)=AC+BD$

<$(AX+CX)+(BX+DX)($به ترتیب نامساوی مثلث را بکار ببرید$)=AX+BX+CX+DX$

این یعنی $O$ جواب مسأله است.برای سه حالت دیگر اثبات مشابه است.

$ \Box $