به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
Visanil
0 امتیاز
372 بازدید
در دبیرستان توسط .math lover. (-3 امتیاز)

چهار خانه روی راس های چهارضلعی ای محدب قرار دارند. چاه آب را کجا بزنیم تا مجموع فاصله خانه ها تا چاه آب کمترین مقدار ممکن باشد؟

1 پاسخ

0 امتیاز
توسط قاسم شبرنگ (3,537 امتیاز)
انتخاب شده توسط .math lover.
 
بهترین پاسخ

چهار خانه را رأسهای چهار ضلعی و چاه آب را نقطه ای داخل چهار ضلعی بگیرید.

چهار ضلعی محدب ABCD را در نظر بگیرید و فرض کنید که O نقطه برخور اقطار آن و X نقطه ای داخواه در داخل چهار ضلعی باشد.حالا نقطه X یا در مثلث OAB قرار میگیرد یا در مثلث OBC یا در مثلث OCD و یا در مثلث ODA.فرض کنید در مثلث OAB قرار گیرید.بنابراین:

AO+BO+CO+DO=(AO+OC)+(BO+OD)=AC+BD

<(AX+CX)+(BX+DX)(به ترتیب نامساوی مثلث را بکار ببرید)=AX+BX+CX+DX

این یعنی O جواب مسأله است.برای سه حالت دیگر اثبات مشابه است.

\Box

...