ثابت می کنیم رابطه داده شده یک نرم روی ماتریس های $n\times n$ حقیقی است.
- واضح است که $\|A\|\geq 0$
- $$\begin{align}\|A\|=0&\iff \max_{i,j}|a_{ij}|=0\\
&\iff \forall i,j :|a_{ij}|=0\\
&\iff \forall i,j:a_{ij}=0\\ & \iff A=0\end{align}$$
- اگر $c\in\mathbb R$ یک عدد حقیقی باشد در اینصورت: $$\|cA\|=\max_{i,j}|ca_{ij}|=\max_{i,j}|c||a_{ij}|=|c|\max_{i,j}|a_{ij}|=|c|\|A\|$$
- برای هر دو ماتریس $A,B$ داریم: $$\|A+B\|=\max_{i,j}|a_{ij}+b_{ij}|\leq \max_{i,j}|a_{ij}|+\max_{i,j}|b_{ij}|=\|A\|+\|B\|$$
مطالب بالا برای ماتریس های $m\times n$ هم درست است.
برای ماتریس های $n\times n$ توجه کنید که رابطه ذکر شده در $\|AB\|\leq \|A\|\|B\\$ صدق نمی کند. به عنوان مثال قرار دهید $A= \begin{bmatrix}1 & 1 \\0 & 0 \end{bmatrix}$ و
$B= \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 1& 0\end{bmatrix}$ در اینصورت
$AB= \begin{bmatrix}2 & 0 \\ 0 & 0\end{bmatrix} $ و لذا $\|AB\|=2$ در حالیکه $\|A\|\|B\|=1\times 1=1$ .
