عناصر از مرتبه ۱۵ در Z45 را بیابید

Question

عناصر از مرتبه $15$ در $Z_{45}$ را بیابید. تلاش برای حل: استفاده از فرمول $|ka| = |a|/(k,|a|)$ اما در پیدا کردن $k$ به مشکل خوردم.

Answer 1

فرض کنید که $a \in Z_{45}$ و $o(a)=15$ بنابراین:

$15a \equiv 0(mod 45) \ \Leftrightarrow \frac{15a}{15} \equiv \frac{0}{15} (mod \frac{45}{(15,45)} ) \Leftrightarrow a \equiv 0(mod \frac{45}{15} ) \Leftrightarrow a \equiv 0(mod 3)$

$a=3,6,9,...,42$

$ \Box $