فرض کنید $(X, \leq )$ یک مجموعه ای جزئن مرتب باشد و $ \emptyset \neq A \subseteq X$ . عضو $t$ از $X$ را یک کران پائین برای $A$ گویند هرگاه برای هر عضو از $A$ مانند $a$ داشته باشیم $t \leq a$ و اگر این $t$ کوچکترین باشد یعنی اگر $s$ هم یک کران پائین دلخواه دیگر برای $A$ باشد آنگاه $s \leq t$ این $t$ را بزرگترین کران پائین یا $infA$ می نامند.حالا عضو $a_0$ از مجموعه $A$ را می نی مم $minA$ می نامند هرگاه برای هر $a$ از $A$ داشته باشیم $a_0 \leq a$.
واضح است که هر مینیمم یک کران پائین است اما ممکن است کرانی پائین مینیمم نباشد (حتا در $A$ نباشد ).واگر یک مجموعه دارای کران پائینی باشد ممکن است بزرگترین آنها موجود نباشد.اگر در یک میدان مرتب هر مجموعه غیر تهی که کران پائین داشته باشد آنگاه بزرگترین کران بالا داشته باشد میدان مرتب کامل نام دارد (ثابت شده است تمام میدانهای مرتب کامل ایزومرف اند و در واقع یکی اند و این میدان همانا اعداد حقیقی است ).
خوب در اینجا باید فرض بر خاصیت اینفیمم باشد.با این فرض چون مینیمم موجواست پس یک کران پائین موجوده لذا اینفیمم هم موجوده.حالا مینیمم را $a$ بنامید و اینفیمم را $b$.چون هر مینیممی کران پائین است پس $a \leq b$ و چون مینیمم در خود مجموعه است پس $b \leq a$.لذا $a=b$.
$ \Box $
